bất đẳng thức

E

eye_smile

Đặt $a=x+4;b=y+5;c=z+6$ với $x;y;z \ge 0$

Gỉa sử $a+b+c<16$

\Rightarrow $x+y+z <1$

Có: $(x+4)^2+(y+5)^2+(z+6)^2=90$

\Leftrightarrow $x^2+y^2+z^2+8x+10y+12z=13$

$x^2+y^2+z^2<x+y+z<1$

$8(x+y+z)<8$

$2y+4z=2(y+z)=2(1-x+z)<4$

\Rightarrow vô lý

\Rightarrow điều g/s là sai.

\Rightarrow đpcm,
 
H

huynhbachkhoa23

Đầu tiên ta chứng minh $a+b\ge 4+\sqrt{a^2+b^2-16}$ tương đương với $(a-4)(b-4)\ge 0$ luôn đúng.
Đặt $y=\sqrt{a^2+b^2-16}$ thì ta sẽ chứng minh $y+c\ge 5+\sqrt{y^2+c^2-25}$ tương đương với $(y-5)(c-5)\ge 0$ luôn đúng.
Do đó $a+b+c\ge 4+5+\sqrt{a^2+b^2+c^2-41}=16$
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom