bất đẳng thức

[khai29112998]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn $ab+ac+bc=3$
cm : $\dfrac{a^3}{b^2+3}+\dfrac{b^3}{c^2+3}+\dfrac{c^3}{a^2+3}$\geq$\dfrac{3}{4}$

 

[lp_qt]

ta có:

•$b^2+3=b^2+ab+bc+ac=(b+a)(b+c) \Longrightarrow \dfrac{a^3}{b^2+3}=\dfrac{a^3}{(b+a)(b+c)}$

\Rightarrow $P=\dfrac{a^3}{(b+a)(b+c)}+\dfrac{b^3}{(c+a)(c+b)}+\dfrac{c}{(a+b)(a+c)}$

• $(a+b+c)^2 \ge 3(ab+bc+ac)=9 \Longrightarrow a+b+c \ge 3$

• $\dfrac{a^3}{(a+b)(b+c)}+\dfrac{a+b}{8}+\dfrac{b+c}{8}\ge \dfrac{3}{4}a$

\Rightarrow $P+ \dfrac{1}{2}(a+b+c) \ge \dfrac{3}{4}(a+b+c)$

\Rightarrow $P \ge \dfrac{1}{4}(a+b+c) \ge \dfrac{1}{4}.3=\dfrac{3}{4}$