Bất đẳng thức

[vipboycodon]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho các số a,b,c không âm sao cho tổng hai chữ số bất kì đều dương.
Cmr:

$\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{a+c}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}+\dfrac{9\sqrt{ab+bc+ac}}{a+b+c} \ge 6$

 

[viethoang1999]

Giả sử $a=\max \{a;b;c\}$
Ta cm:
$\sqrt{\dfrac{b}{c+a}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}\ge \sqrt{\dfrac{b+c}{a}}$
Thật vậy áp dụng Holder có:
$VT^2.[b^2(c+a)+c^2(a+b)]\ge (b+c)^3$
Cần cm: $a(b+c)^2\ge b^2(c+a)+c^2(a+b)$\Leftrightarrow $bc(2a-b-c)\ge 0$ (Luôn đúng)

\Rightarrow $\sum \sqrt{\dfrac{a}{b+c}}\ge \sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b+c}{a}}$


Tiếp theo $9\sqrt{\dfrac{ab+bc+ca}{a+b+c}}\ge \dfrac{9\sqrt{a(b+c)}}{a+b+c}$

Ta cần cm $f(t)=t+\dfrac{9}{\sqrt{t+2}}\ge 6$
Trong đó $t=\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b+c}{a}}\ge 2$