Bất đẳng thức

[embecuao]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Cho a,b,c dương. thỏa mãn: a+b+c [TEX]\leq[/TEX] 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của:

A= [TEX]\frac{1}{a^2 + b^2+c^2} + \frac{1}{ab} + \frac{1}{bc} + \frac{1}{ac}[/TEX]

2. Cho tam giác ABC với a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác. CM:
a, (p-a)(p-b)(p-c) [TEX]\leq \frac{abc}{8}[/TEX]

b, [TEX]h_a + h_b + h_c \geq 9r[/TEX] (r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC)

3. Cho a,b,c dương. CM:

[TEX]\frac{1}{a+3b} + \frac{1}{b+3c} + \frac{1}{c+3a} \geq \frac{1}{a+2b+c} + \frac{1}{b + 2c +a} + \frac{1}{c+2a+b}[/TEX]

 

[lp_qt]

2
$(p-a)(p-b)\le (\dfrac{p-a+p-b}{2})^{2}=\dfrac{c^{2}}{4}$

$(p-a)(p-c)\le (\dfrac{p-a+p-c}{2})^{2}=\dfrac{b^{2}}{4}$

$(p-c)(p-b)\le (\dfrac{p-b+p-c}{2})^{2}=\dfrac{a^{2}}{4}$

\Rightarrow $[(p-a)(p-b)(p-c)]^{2}\le \dfrac{(abc)^{2}}{64}$

\Rightarrow đpcm

 

[vipboycodon]

Câu 1:
$A = \dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ac}$

$\ge \dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{9}{ab+bc+ac}$

$= \dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{1}{ab+bc+ac}+\dfrac{1}{ab+bc+ac}+\dfrac{7}{ab+bc+ac}$

$\ge \dfrac{9}{(a+b+c)^2}+\dfrac{7}{\dfrac{(a+b+c)^2}{3}} = 30$

Dấu "=" xảy ra khi $a = b = c = \dfrac{1}{3}$

Câu 2:
Ta có: $(p-a)(p-b) \le (\dfrac{p-a+p-b}{2})^2 = \dfrac{c^2}{4}$

tương tự ta có: $(p-b)(p-c) \le \dfrac{a^2}{4}$ ; $(p-a)(p-c) \le \dfrac{b^2}{4}$

Nhân vế với vế ta có đpcm.

 

[lp_qt]

2.b
$h_{a}+h_{b}+h_{c}=\dfrac{2S}{a}+\dfrac{2S}{b}+ \dfrac{2S}{c}$

$= 2S.(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+ \dfrac{1}{c})$

$\ge 2S.\dfrac{9}{a+b+c}=2S.\dfrac{9}{2p}=9r$

 

[hocmai.toanhoc]

3/ Ta có

$$\frac{1}{a+3b}+\frac{1}{a+b+2c}\ge \frac{4}{2a+4b+2c}=\frac{2}{a+2b+c} $$
$$ \frac{1}{b+3c}+\frac{1}{b+c+2a}\ge \frac{2}{b+2c+a} $$
$$ \frac{1}{c+3a}+\frac{1}{c+a+2b}\ge \frac{2}{c+2a+b}$$
$$ =>VT+VP\ge 2VP $$
$$ \leftrightarrow VT\ge VP $$