Toán 12 Bất đẳng thức

[sayhi]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chứng minh rằng với mọi x,y,z dương thỏa mãn xy +yz+ zx =3 ta có
$\dfrac{1}{2xyz} + \dfrac{4}{(x+y)(y+z)(z+x)}$ \geq 1

 

[hthtb22]

Áp dụng bất đẳng thức AM_GM ta có:
$P=\dfrac{1}{2xyz} + \dfrac{4}{(x+y)(y+z)(z+x)} \ge 2 \sqrt{\dfrac{2}{xyz(x+y)(y+z)(z+x)}}$
$P \ge 2\sqrt{\dfrac{2}{(xy+yz)(yz+zx)(zx+xy)}}$

Tiếp tục AM-Gm $(xy+yz)(yz+zx)(zx+xy) \le (\dfrac{2(xy+yz+zx)}{3})^3=8$

Dấu = xảy ra khi $x=y=z=1$

 

[congchuaanhsang]

Cái này chỉ khác đi về cách viết thôi

$P=\dfrac{1}{2xyz}+\dfrac{4xyz}{(xy+yz)(yz+xz)(xz+xy)} \ge \dfrac{1}{2xyz}+\dfrac{4xyz}{( \dfrac{2(xy+yz+xz)}{3} )^3}$

\Leftrightarrow $P \ge \dfrac{1}{2xyz}+\dfrac{xyz}{2} \ge 1$