Bất đẳng thức

[toantoan2000]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho x,y dương và x+y \leq 1. Tìm Min của $\frac{1}{x^2+y^2} + \frac{2}{xy} +4xy$
Các bạn có thể nêu dùm mình các bước suy luận để tách thì cảm ơn nhiều

 

[casidainganha]

- Đầu tiên ta xác định dấu bằng . Thấy vai trò x,y như nhau nên ta dễ dàng thấy dấu bằng \Leftrightarrow [TEX]x=y=\frac{1}{2}[/TEX]
Khi dấu bằng xảy ra\Rightarrow [TEX]\frac{1}{x^2+y^2}=2[/TEX], [TEX]\frac{2}{xy}=8[/TEX], 4xy=1
Tại sao phải làm thế? Vì ta muốn sử dụng bđt cosi mà nguyên tắc của cosi là xảy ra dấu bằng thì các số phải bằng nhau.
Từ đây ta sẽ có cách ghép hợp lý để các cặp số được ghép phải bằng nhau
- Lại thấy đa thức [TEX]x^2+y^2[/TEX]mà ở dưới mẫu thì khó xét min, đọc lại đề bài thì người ta cho đại lượng (x+y)\leq1 \Rightarrow $(x+y)^2$\leq1\Rightarrow $X^2+Y^2+2xy$\leq1. Ta phải tìm 1 phân số có xy ở mẫu và bằng [TEX]\frac{1}{x^2+y^2}[/TEX] (khi dấu bằng xảy ra). Lựa chọn $\frac{1}{2xy}$.
ÁP DỤNG BĐT [TEX]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq$\frac{4}{a+b}[/TEX] cho $\frac{1}{2xy}$. và [TEX]\frac{1}{x^2+y^2}[/TEX]
Sau đó lại tiếp tục nhóm 4xy và [TEX]\frac{1}{4xy}[/TEX]( vì khi dấu bằng xảy ra thì chúng bằng nhau)
Vấn đề còn lại là [TEX]\frac{5}{4xy}[/TEX]. Cái này quá dễ, lưu ý bđt 4xy\leq $(x+y)^2$
Giải thích có khó hiểu quá không bạn