Bất đẳng thức

T

transformers123

Chắc là chứng minh $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c} \ge 9$ =))

Ta có: $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c} \ge \dfrac{9}{a+b+c} =\dfrac{9}{1}=1 $ (áp dụng bđt Schwarz)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\dfrac{1}{3}$
 
H

huynhbachkhoa23


Bác su này :| bài như thế này mà chủ thớt hỏi bài thì nghĩ là chủ thớt chưa quen với Cauchy-Schwarz rồi :| sao còn giải lời giải đó :|
$(a+b+c)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)=3+\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{c}{a}+\dfrac{a}{c}=9+\dfrac{(b-c)^2}{bc}+\dfrac{(c-a)^2}{ca}+\dfrac{(a-b)^2}{ab}\ge 9$
Do đó $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge 9$
 
H

hien_vuthithanh

Cách khác
$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c} $=$\dfrac{a+b+c}{a}+\dfrac{a+b+c}{b}+\dfrac{a+b+c}{c}$

=$ 3 + (\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}) +((\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}) +(\dfrac{c}{a}+\dfrac{a}{c})$ \geq $3 + 2\sqrt{\dfrac{ab}{ba}} +2\sqrt{\dfrac{cb}{cb}} +2\sqrt{\dfrac{ac}{ca}}$ =9

Dấu = \Leftrightarrow $a=b=c=\dfrac{1}{3}$
\Rightarrow dpcm
 
H

hien_vuthithanh

Thêm cách nữa ,càng nhiều càng vui :D

Ta có $9a+\dfrac{1}{a}$ \geq $2\sqrt{\dfrac{9a}{a}}=6$

TT \Rightarrow $9b+\dfrac{1}{b}$ \geq 6 ,$9c+\dfrac{1}{c}$ \geq 6

Cộng theo vế \Rightarrow $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$ \geq $18 - 9(a+b+c)=9$

\Rightarrow $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$ \geq 9

\Rightarrow dpcm

Dấu = tại $a=b=c=\dfrac{1}{3}$
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom