Bất đẳng thức

[coppydera@gmail.com]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. 1/(1+a^2)+1/(1+b^2) >= 2/(1+ab) với a>=1,b>=1

2. a,b,c là các số dương thỏa mãn abc=1 tìm gtln của M=1/(a^2+2b^2+3) + 1/(b^2+2c^+3) 1/(c^2+2a^2+3)

3. cho a,b,c>00 và ab+bc+ca>=3 chứng minh a^3/(b+c) + b^3/(c+a) + c^3/(a+b) >= 3/2
mong mọi người giải cho em chi tiết một tí

 

[hien_vuthithanh]

1/

a/ $\dfrac{1}{a^2+1}+\dfrac{1}{1+b^2}$\geq $\dfrac{2}{ab+1}$

\Leftrightarrow $\dfrac{[(a^2+1)+(b^2+1)](ab+1)}{(a^2+1)(b^2+1)(ab+1)}$ \geq 0

$\dfrac{2(a^2+1)(b^2+1)}{(a^2+1)(b^2+1)(ab+1)}$ \geq 0

\Leftrightarrow $a^3b+ab^3+2ab$ \geq $2a^2b^2+a^2+b^2$

\Leftrightarrow $ab(a-b)^2 -(a-b)^2$\geq 0

\Leftrightarrow $(a-b)^2(ab-1)$ \geq 0(luôn đúng \forall $a ,b$ \geq 1)

\Rightarrow dpcm

 

[hien_vuthithanh]

3/

$\dfrac{a^3}{b+c} + \dfrac{b^3}{a+c} + \dfrac{c^3}{a+b}$

= $\dfrac{a^4}{ab+ac} + \dfrac{b^4}{ab+bc} + \dfrac{c^4}{ac+bc}$

\geq $\dfrac{(a^2 +b^2 +c^2)^2}{2(ab+bc+ca)}$ \geq $\dfrac{(ab+bc+ca)^2}{2(ab+bc+ca)}$ \geq $\dfrac{3}{2}$

\Rightarrow dpcm

Dấu = \Leftrightarrow $a =b =c =1$

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 2:
$\dfrac{1}{a^2+2b^2+3}=\dfrac{1}{a^2+b^2+b^2+1+2} \le \dfrac{1}{2(ab+b+1)}$
Tương tự ta có: $M\le \dfrac{1}{2}\sum \dfrac{1}{ab+b+1}=\dfrac{1}{2}$ vì $\sum \dfrac{1}{ab+b+1}=\dfrac{abc}{ab+b+abc}+\dfrac{a}{abc+ca+a}+\dfrac{1}{ca+a+1}=\dfrac{ca}{ca+a+1}+ \dfrac{a}{ca+a+1}+\dfrac{1}{ca+a+1}=1$

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 3:
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM :
$\dfrac{a^3}{b+c}+\dfrac{ab+ac}{4}\ge 2\sqrt{\dfrac{a^3}{b+c}.\dfrac{a(b+c)}{4}}=a^2$
Tương tự ta có: $\sum \dfrac{a^3}{b+c} \ge a^2+b^2+c^2-\dfrac{ab+bc+ca}{2}$
Chú ý bất đẳng thức $a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\leftrightarrow \sum (a-b)^2\ge 0$
$\to a^2+b^2+c^2-\dfrac{ab+bc+ca}{2}\ge \dfrac{ab+bc+ca}{2}\ge \dfrac{3}{2}$
Ký hiệu $\sum f(a,b,c)$ là tổng hoán vị của $f(a,b,c)$: $\sum f(a,b,c)=f(a,b,c)+f(b,c,a)+f(c,a,b)$

 

[coppydera@gmail.com]

mọi người có thể giải chi tiết hơn không:-SSo-+

 

[coppydera@gmail.com]

e đag họk lớp 8 nên 0 hju lắmo=>o=>>->-/@-)o=>:|

 

[hien_vuthithanh]

e đag họk lớp 8 nên 0 hju lắm
|

Không hiểu chỗ nào thì em phải nói ra chứ .Mấy bài này sử dụng Cosi ,em chưa học à .

 

[coppydera@gmail.com]

a

cái bài 2 có mấy chỗ dùng kí kiệu khó hiểu quá

 

[hien_vuthithanh]

cái bài 2 có mấy chỗ dùng kí kiệu khó hiểu qúa

$\sum$ là tổng hoán vị thôi
Cũng không khó hiểu lắm đâu

Nếu có 3 số $a,b,c$ thì thay vì viết $a+b+c$ ta có thể viết thành $\sum a$ cho ngắn gọn
Cái này rất có lợi cho những số dài (khó diễn đạt quá) mà các số có vai trò như nhau


@huynhbachkhoa : Em dùng cái này hơi sớm nhỉ ?

 

[coppydera@gmail.com]

\frac{1}{2}

 

[coppydera@gmail.com]

công thức

[TEX]1\frac{a}{b}2[/TEX]o-+o-+@};-@};-||||:-SS:-SS:-SS:-SS

 

[coppydera@gmail.com]

công thức

[TEX]1^2[/TEX]

 

[coppydera@gmail.com]

gtln gtnn

mọi người giải dùm em câu này với:cho a,b,c3 và a,b,c>0.tìm gtnn B=[TEX]1/(a^2+b^2+c^2) + 2009/(ab+bc+ca)[/TEX]

 

[coppydera@gmail.com]

1. 1/(1+a^2)+1/(1+b^2) >= 2/(1+ab) với a>=1,b>=1

2. a,b,c là các số dương thỏa mãn abc=1 tìm gtln của M=1/(a^2+2b^2+3) + 1/(b^2+2c^+3) 1/(c^2+2a^2+3)

3. cho a,b,c>00 và ab+bc+ca>=3 chứng minh a^3/(b+c) + b^3/(c+a) + c^3/(a+b) >= 3/2
mọi người nhớ giải chi tiết một tí bằng cách lớp 8 nha!

 

[coppydera@gmail.com]

cho (x^2+y^2+z^2)/(a^2+b^2+c^2)=x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2
CMR x^2013+y^2013+z^2013/a^2013+b^2013+c^2013=x^2013/a^2013+y^2013/b^2013+z^2013/c^2013

Mọi người nhớ giải chi tiết một tí và theo cách của lớp 8 nha!