Bất Đẳng Thức

[khanhcoluy]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Chứng minh rằng với hai số thực a,b tùy ý ,ta có $a^4+b^4 \ge a^3b+ab^3$
2. Chứng minh rằng nếu $a \ge 0$ và $b\ge 0$ thì : $\frac{a+b}{2}$ x $\frac{a^2+b^2}{2}$ \geq $\frac{a^3+b^3}{2}$
3.Chứng minh rằng đối với 2 số tùy ý a, b , ta có : $\frac{|a-b|}{1+|a-b|}$ \leq $\frac{|a|}{1+|a|}$ + $\frac{b}{1+|b|}$

 

[lp_qt]

1
$a^{4}+b^{4}$ \geq $ab^{3}+a^{3}b$

\Leftrightarrow $a^{3}(a-b)-b^{3}(a-b)$ \geq $0$

\Leftrightarrow $(a-b)(a^{3}-b^{3})$\geq $0$

\Leftrightarrow $(a-b)^{2}(a^{2}+ab+b^{2})$ \geq $0$ (luôn đúng)
suy ra đpcm

 

[hien_vuthithanh]

1
$a^{4}+b^{4}$ \geq $ab^{3}+a^{3}b$

\Leftrightarrow $a^{3}(a-b)-b^{3}(a-b)$ \geq $0$

\Leftrightarrow $(a-b)(a^{3}-b^{3})$\geq $0$

\Leftrightarrow $(a-b)^{2}(a^{2}+ab+b^{2})$ \geq $0$ (luôn đúng)
suy ra đpcm

Cách khác

$a^4 + a^4 + a^4 + b^4 $ \geq $4\sqrt[4]{a^{12}b^4}= 4a^3b$

TT \Rightarrow $4(a^4 + b^4) $ \geq $4 (a^3b +ab^3)$

\Rightarrow $a^4 + b^4 $ \geq $a^3b +ab^3$

\Rightarrow dpcm

 

[eye_smile]

Cách khác

$a^4 + a^4 + a^4 + b^4 $ \geq $4\sqrt[4]{a^{12}b^4}= 4a^3b$

TT \Rightarrow $4(a^4 + b^4) $ \geq $4 (a^3b +ab^3)$

\Rightarrow $a^4 + b^4 $ \geq $a^3b +ab^3$

\Rightarrow dpcm

Có 1 sai sót nhỏ

Chưa có đk a;b không âm nên $4\sqrt[4]{a^{12}b^4} \ge 4a^3b$ chứ không phải =

|-)

 

[eye_smile]

2,Xem lại đề nhé

Không thấy c đâu

3,Với $x \ge y \ge 0$, ta có:

$\dfrac{x}{x+1} \ge \dfrac{y}{y+1}$ (Biến đổi tương đương)

Có: $|a|+|b| \ge |a-b|$

AD vào BĐT trên là ra