Bất Đẳng Thức

[khanhcoluy]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1.Chứng minh rằng, nếu a>0 và b>0 thì $\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$ \geq $\frac{4}{a+b}$
2. Chứng minh rằng, nếu a \geq 0 và b \geq 0 thì $a^3$+$b^3$ \geq $ab(a+b).$
3.
a) Chứng minh rằng $a^2+ab+b^2$ \geq với mọi số thực a, b.
b) Chứng minh rằng nếu a,b,c là độ dài các cạnh một tam giác thì : $a^2+b^2+c^2$ < 2(ab+bc+ca).

BĐT mình không biết làm mong các bạn thông cảm và giúp đỡ và mình vừa vào diễn đàn nên có gì mong bỏ qua cho.

 

[transformers123]

Bài 1:

Ta có: $(a+b)(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}) \ge 2\sqrt{ab}.\dfrac{2}{\sqrt{ab}} =4$

$\Longrightarrow \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b} \ge \dfrac{4}{a+b}$

 

[eye_smile]

1,$a+b \ge 2\sqrt{2}$

$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b} \ge \dfrac{2}{\sqrt{ab}}$

\Rightarrow $(a+b)(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}) \ge 4$

\Rightarrow đpcm

 

[eye_smile]

2,$a^3+b^3-ab(a+b)=(a+b)(a^2-ab+b^2)-ab(a+b)=(a+b)(a^2-2ab+b^2)=(a-b)^2(a+b) \ge 0$

3,a/$a^2+ab+b^2=(a+\dfrac{b}{2})^2+\dfrac{3}{4}b^2 \ge 0$ (lđ)

b/ $a<b+c$

Suy ra $a^2<a(b+c)=ab+ac$

$b<a+c$

Suy ra $b^2<b(a+c)=ab+bc$

$c<a+b$

Suy ra $c^2<c(a+b)=ac+bc$

Cộng theo vế

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 3: Ta sẽ làm bằng các cách thật sự độc đáo cho bài (a)
Cách 1: $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ và do $a^3-b^3, a-b$ cùng dấu nên bắc buộc $a^2+ab+b^2\ge 0$
Cách 2: Ta luôn có $(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\ge 0$
Đặt $a=c+x+y$ và $b=c+y$ thì ta có được $x^2+y^2+(x+y)^2\ge 0 \leftrightarrow x^2+xy+y^2\ge 0$

Em rất tâm đắc với hai lời giải này.