Bât đẳng thức

[ayen52]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Nhờ các bạn giải hộ mình bài toán sau. Xin chân thành cám ơn.
Bài 1: Cho a; b; c > 0. Chứng minh rằng:
[TEX]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq\frac{4}{2a+b+c}+\frac{4}{2b+c+a}+\frac{4}{2c+a+b}[/TEX]
Bài 2: Cho a; b; c > 0. Chứng minh rằng:
[TEX]\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\geq ab+bc+ac[/TEX]

 

[lp_qt]

1.
$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge \dfrac{16}{2a+b+c}$

$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge \dfrac{16}{a+2b+c}$

$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\frac{1}{c}\ge \dfrac{16}{a+b+2c}$

\Rightarrow $4(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c})\ge \dfrac{16}{2a+b+c}+\dfrac{16}{a+2b+c}+\dfrac{16}{a+b+2c}$

\Rightarrow đpcm

 

[lp_qt]

2.
$\dfrac{a^{3}}{b}+\dfrac{b^{3}}{c}+\dfrac{c^{3}}{a}$

$=\dfrac{a^{4}}{ab}+\dfrac{b^{4}}{bc}+\dfrac{c^{4}}{ac}$

\geq $\dfrac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{ab+ca+bc}$

\geq $\dfrac{(ab+bc+ac)^{2}}{ab+bc+ca}=ab+bc+ca$

 

[hien_vuthithanh]

Bài 2: Cho a; b; c > 0. Chứng minh rằng:
[TEX]\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\geq ab+bc+ac[/TEX]

Cách khác
Ta có $\dfrac{a^3}{b}+ab$ \geq $2a^2$
TT \Rightarrow $\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}$ \geq $ 2(a^2+b^2+c^2) - (ab+bc+ca) $\geq $2(ab+bc+ca) -(ab+bc+ca)$ =$ab+bc+ca$
\Rightarrow dpcm