Bất Đẳng Thức

[steelheart1809]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

$x,y,z>0$ và $\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}$\geq$2$.
CMR: $xyz$\leq$\frac{1}{8}$

 

[eye_smile]

Từ GT \Rightarrow $\dfrac{1}{1+x} \ge 2-\dfrac{1}{1+y}-\dfrac{1}{1+z}=\dfrac{y}{1+y}+\dfrac{z}{1+z} \ge \dfrac{2\sqrt{yz}}{\sqrt{(1+y)(1+z)}}$

Tương tự, có:

$\dfrac{1}{1+y} \ge \dfrac{2\sqrt{xz}}{\sqrt{(1+x)(1+z)}}$

$\dfrac{1}{1+z} \ge \dfrac{2\sqrt{xy}}{\sqrt{(1+x)(1+y)}}$

Nhân theo vế đc đpcm.