bất đẳng thức

[bboyduckdonal@gmail.com]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

$x; y ;z \ge 0$ chứng minh

$\dfrac{x^3}{y^3}+\dfrac{y^3}{z^3}+\dfrac{z^3}{x^3} \ge \dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{z^2}+\dfrac{z^2}{x^2}$


Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ???

 

[hien_vuthithanh]

đề sai
ví dụ $\dfrac{x}{y}=0,1 ;\dfrac{y}{z}=0,2 ;\dfrac{z}{x}=0,3$ thì VT <VP

 

[eye_smile]

đề sai
ví dụ $\dfrac{x}{y}=0,1 ;\dfrac{y}{z}=0,2 ;\dfrac{z}{x}=0,3$ thì VT <VP

Với cái đk $\dfrac{x}{y}=0,1 ;\dfrac{y}{z}=0,2 ;\dfrac{z}{x}=0,3$ thì làm gì tồn tại $x;y;z$ chứ


Vì nhân theo vế,đc:

$1=0,1.0,2.0,3$ )

 

[eye_smile]

Chứng minh

$\dfrac{x^3}{y^3}+\dfrac{x^3}{y^3}+1 \ge 3.\dfrac{x^2}{y^2}$

$\dfrac{y^3}{z^3}+\dfrac{y^3}{z^3}+1 \ge 3.\dfrac{y^2}{z^2}$

$\dfrac{z^3}{x^3}+\dfrac{z^3}{x^3}+1 \ge 3.\dfrac{z^2}{x^2}$

Cộng theo vế,được:

$2(\dfrac{x^3}{y^3}+\dfrac{y^3}{z^3}+\dfrac{z^3}{x^3})+3 \ge 3(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{z^2}+\dfrac{z^2}{x^2}) $

\Leftrightarrow $2(\dfrac{x^3}{y^3}+\dfrac{y^3}{z^3}+\dfrac{z^3}{x^3}) \ge 2(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{z^2}+\dfrac{z^2}{x^2})+(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{z^2}+\dfrac{z^2}{x^2}-3) \ge 2(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{z^2}+\dfrac{z^2}{x^2})$

Do $\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{z^2}+\dfrac{z^2}{x^2} \ge 3$ (Cau-chy)

\Rightarrow đpcm

 

[congchuaanhsang]

Cách khác:

Để tiện cho việc biến đổi ta đặt $\dfrac{x}{y}=a$ ; $\dfrac{y}{z}=b$ ; $\dfrac{z}{x}=c$

Ta đưa bài toán về chứng minh bất đẳng thức

$a^3+b^3+c^3 \ge a^2+b^2+c^2$

Với $a,b,c \ge 0$ ; $abc=1$

Theo CBS có $(a+b+c)^2 \le 3(a^2+b^2+c^2)$ (1)

Mà theo AM-GM $a^2+b^2+c^2 \ge 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}=3$

Nên từ (1) có được $(a+b+c)^2 \le (a^2+b^2+c^2)^2$

\Leftrightarrow $a+b+c \le a^2+b^2+c^2$ (vì 2 vế dương) (*)

Cũng theo CBS có $LHS= a^3+b^3+c^3 \ge \dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a+b+c} \ge \dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a^2+b^2+c^2} = a^2+b^2+c^2 = RHS$ (do (*) )

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z$