Bất đẳng thức

M

minhhieupy2000

Áp dụng BĐT Bunhiacopski ta có:
$(1+1+1)^2=( \sqrt{a}.\dfrac1{\sqrt{a}} + \sqrt{b}.\dfrac1{\sqrt{b}} + \sqrt{c}.\dfrac1{\sqrt{c}})^2 \le (a+b+c)(\dfrac1{a} +\dfrac1{b}+\dfrac1{c})$
Dấu '=' $\leftrightarrow a=b=c$
 
P

phankyanhls2000

Áp dụng bdt AM-GM,ta có:
$(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$\geq$3^2=9$
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c
 
T

transformers123

Em rất ít khi dùng AM-GM với Bunhia =))

Theo bđt Schwarz, ta có:

$(a+b+c)(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}) \ge (a+b+c).\dfrac{9}{a+b+c} =9$

Dấu "=" xảy ra khi $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c} \iff a=b=c$
 
M

manhnguyen0164

Thấy các bác rôm rả quá nên bơi vào luôn, đang chứng minh cái BĐT nhỏ này mà cứ áp dụng BĐT kinh điển thì thật là...Bài này có nên chứng minh thêm bài toán phụ =))

Nếu thích có thể chứng minh $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a} \ge 2$ với $a,b>0$

Nhân tung tóe ra ta được:

$$(a+b+c)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)=1+\dfrac{a}{b}+\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{a}+1+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}+\dfrac{c}{b}+1$$

$$=3+\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\right)+\left( \dfrac{a}{c} + \dfrac{c}{a} \right)+\left(\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}\right) \ge 3+2+2+2=9$$

Đẳng thức $\iff a=b=c$.
 
H

huynhbachkhoa23

Lời giải mấy chú không sai, nhưng chưa thực sự chuẩn lắm. Cho em hỏi là lớp 8 đã học quy tắc này chưa:
$$\begin{cases}a\ge b\\ c\ge d\end{cases} \to a+c\ge b+d\\
\\
\begin{cases}a\ge b\ge 0 \\ c\ge d\ge 0 \end{cases}\to ac\ge bd$$
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom