Bất đẳng thức

[huynhbachkhoa23]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài toán 1: Cho các số không âm $a,b,c$. Chứng minh rằng:
$$a^2+b^2+c^2+2abc+1\ge 2(ab+bc+ca)$$
Bài toán 2: Cho các số không âm $a,b,c$ thỏa mãn $ab+bc+ca>0$. Chứng minh rằng:
$$\dfrac{a(b+c)}{a^2+bc}+\dfrac{b(c+a)}{b^2+ca}+ \dfrac{c(a+b)}{c^2+ab}\ge 2 $$
Bài toán 3: Hỏi có tồn tại hay không các số thực $x,y,z$ thỏa mãn $x+y+z=-3$ và $xy+yz+zx=4$

 

[transformers123]

Bài 1:

Theo nguyên lí Dirichlet, ta có trong $3$ số $a, b, c$ tồn tại ít nhất hai số cùng không lớn hơn hoặc không bé hơn $1$

Giả sử hai số đó lả $a,\ b$, ta có:

$(a-1)(b-1) \ge 0$

$\iff ab-a-b+1 \ge 0$

$\iff ab \ge a+b-1$

$\iff abc \ge ac+bc-c$ (do ... )

Từ dây ta có:

$a^2+b^2+c^2+2abc+1 \ge a^2+b^2+c^2+2(ac+bc-c)+1$

$\iff a^2+b^2+c^2+2abc+1 \ge (a^2+b^2)+(c^2+1)+2ac+2bc-2c$

$\iff a^2+b^2+c^2+2abc+1 \ge 2ab+2c+2ac+2bc-2c$

$\iff a^2+b^2+c^2+2abc+1 \ge 2(ab+bc+ca)$

Xong :|

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 1:

Theo nguyên lí Dirichlet, ta có trong $3$ số $a, b, c$ tồn tại ít nhất hai số cùng không lớn hơn hoặc không bé hơn $1$

Giả sử hai số đó lả $a,\ b$, ta có:

$(a-1)(b-1) \ge 0$

$\iff ab-a-b+1 \ge 0$

$\iff ab \ge a+b-1$

$\iff abc \ge ac+bc-c$ (do ... )

Từ dây ta có:

$a^2+b^2+c^2+2abc+1 \ge a^2+b^2+c^2+2(ac+bc-c)+1$

$\iff a^2+b^2+c^2+2abc+1 \ge (a^2+b^2)+(c^2+1)+2ac+2bc-2c$

$\iff a^2+b^2+c^2+2abc+1 \ge 2ab+2c+2ac+2bc-2c$

$\iff a^2+b^2+c^2+2abc+1 \ge 2(ab+bc+ca)$

Xong :|

Có thể viết thế này cho gọn:
$$a^2+b^2+c^2+2abc+1-2(ab+bc+ca)=(a-1)^2+(b-c)^2+2a(b-1)(c-1) \ge 0$$
Nếu không thích dùng Dirichlet thì làm như sau:
Theo bất đẳng thức Schur bậc 3, ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức sau là đủ:
$$2abc+1 \ge \dfrac{9abc}{a+b+c}$$
$$\leftrightarrow (abc+abc+1)(a+b+c) \ge 9abc$$
Bất đẳng thức cuối luôn đúng theo AM-GM 3 số.

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 1:
$$t^2=bc\;\;(t \ge 0)$$
Mới nghĩ ra cách này:
$$f(a,b,c)=a^2+b^2+c^2+2abc+1-2a(b+c)-2bc$$
$$f(a,b,c)-f(a,\sqrt{bc},\sqrt{bc})=(b+c-2a+2\sqrt{bc})(\sqrt{b}-\sqrt{c})^2$$
Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử $a\le \text{min}\{b,c\}$, khi đó ta có:
$$f(a,b,c) \ge f(a,t,t)=a^2+2at^2+1-4at \ge 0$$
Bất đẳng thức này hiển nhiên đúng do:
$$a^2+at^2+at^2+1 \ge 4at$$
Hoàn tất chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$