bất đẳng thức

[nguyenmivan]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

bài 1: cmr: 2^(2n+2) > 2n+5 với n thuộc N*
bài 2: cho a>-1 và n thuộc N*. CMR: (1+a)^n>=1+na.
bài 3: CMR: [TEX]\forall[/TEX]>=2,n thuộc N, ta luôn có: (1-[TEX]\frac{1}{4}[/TEX])(1-[TEX]\frac{1}{9}[/TEX]) (1-[TEX]\frac{1}{16}[/TEX])..... (1-[TEX]\frac{1}{n^2}[/TEX])=[TEX]\frac{n+1}{2n}[/TEX]

 

[vipboycodon]

Bài 1:
Với $n = 1$ thì $2^4 = 16 > 7$
Giả sử mệnh đề đúng với $n = k$ ( $k \in N^*$ , $k \ge 1$) tức là: $2^{2k+2} > 2k+5$
Xét $n = k+1$ ta có:
$2^{2(k+1)+2} = 4.2^{2k+2} > 4(2k+5) > 2k+7$
=> đpcm

Bài 2:
Với $n = 1$ thì mệnh đề đúng
Giả sử mệnh đề đúng với $n = k$ ( $k \in N^*$ , $k \ge 1$) tức là: $(1+a)^k \ge 1+ak$
Xét $n = k+1$ ta có:
$(1+a)^{k+1} = (1+a)^k.(1+a) \ge (1+ak)(1+a)$
ta sẽ cm : $(1+ak)(1+a) \ge 1+a(k+1)$
<=> $1+a+ak+a^2k \ge 1+ak+a$
<=> $a^2k \ge 0$ (đúng vì $k \ge 1$)
=> đpcm

 

[transformers123]

Bài 2:

Nguồn: $\mathfrak{Wikipedia}$ =))

 

[transformers123]

Không ai làm câu 3 thì em xin giải =))

$(1-\dfrac{1}{4})(1-\dfrac{1}{9})(1-\dfrac{1}{16})...(1-\dfrac{1}{n^2})$

$=(1-\dfrac{1}{2^2})(1-\dfrac{1}{3^2})(1-\dfrac{1}{4^2})...(1-\dfrac{1}{n^2})$

$=\dfrac{(2^2-1)(3^2-1)(4^2-1)...(n^2-1)}{2^2.3^2.4^2...n^2}$

$=\dfrac{1.3.2.4.3.5...(n-1)(n+1)}{2^2.3^2.4^2...n^2}$

$=\dfrac{1.(n+1)}{2.n}$

$=\dfrac{n+1}{2n}$