Bất đẳng thức

[skysport_fc]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1/Cho a, b là các số thực dương. Chứng minh rằng
a/ $\dfrac{2a^3+1}{4b.(a-b)} \ge 3$
b/ $\dfrac{a-d}{b+d} + \dfrac{d-b}{c+b} + \dfrac{b-c}{c+a} + \dfrac{c-a}{d+a} \ge 0$


Chú ý cách gõ phân số.

 

[vipboycodon]

1a. $\dfrac{2a^3+1}{4b(a-b)} \ge \dfrac{2a^3+1}{(b+a-b)^2} = \dfrac{2a^3+1}{a^2} = a+a+\dfrac{1}{a^2} \ge 3$

 

[vipboycodon]

b) $VT = \dfrac{a-d}{b+d}+\dfrac{d-b}{c+b}+\dfrac{b-c}{c+a}+\dfrac{c-a}{d+a} $
$ = \dfrac{a+b- (b+d)}{b+d}+\dfrac{c+d- (c+b)}{c+b}+ \dfrac{a+b- (a+c)}{c+a}+\dfrac{c+d-(a+d)}{d+a} $
$ = \dfrac{a+b}{b+d}+\dfrac{c+d}{b+c}+\dfrac{a+b}{a+c}+\dfrac{c+d}{a+d}-4 $
$ = (a+b)(\dfrac{1}{b+d}+\dfrac{1}{a+c})+(c+d)(\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+d})-4$
$\ge \dfrac{4(a+b)}{a+b+c+d}+\dfrac{4(c+d)}{a+b+c+d}-4 = 0$
=> đpcm