Bất Đẳng Thức

[viethoang1999]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho $x;y>0$ thỏa mãn $x^2+y^2=x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}$. Tìm Min
$$P=\left (x+\dfrac{1}{x} \right )^2+\left (y+\dfrac{1}{y} \right )^2$$

 

[huynhbachkhoa23]

Áp dụng BDT Bunyakovsky:
$x^2+y^2=x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2} \le \sqrt{(x^2+1-x^2)(y^2+1-y^2)}$
$\leftrightarrow 0< x^2+y^2 \le 1$

$0<x+y \le \sqrt{ 2(x^2+y^2)} \le \sqrt{2}$

$2P \ge \left(t+\dfrac{4}{t} \right)^2 \ge 18\;\;(t=x+y)$

 

[genkidama]

Áp dụng BDT Bunyakovsky:
$x^2+y^2=x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2} \le \sqrt{(x^2+1-x^2)(y^2+1-y^2)}$
$\leftrightarrow 0< x^2+y^2 \le 1$

$0<x+y \le \sqrt{ 2(x^2+y^2)} \le \sqrt{2}$

$2P \ge \left(t+\dfrac{4}{t} \right)^2 \ge 18\;\;(t=x+y)$

Giải thích rõ hơn được ko bạn ?từng bước ý bạn làm hơi tắt^^

 

[viethoang1999]

Giải thích rõ hơn được ko bạn ?từng bước ý bạn làm hơi tắt^^

Bước đầu và bước 2 dùng Bunhiacopski
Bước cuối, đánh giá 1 dùng Bunhiacopski, sau đó nhân tung ra, điểm rơi $t=\sqrt{2}$ và AM-GM
$t^2+\dfrac{4}{t^2}+\dfrac{12}{t^2}\ge 4+\dfrac{12}{2(x^2+y^2)}$
Sử dụng $x^2+y^2\le 1$ nữa là xong!