Bất đẳng thức

[vuonghongtham07]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Với a,b,c>0 và $\frac{a^5}{b+c}+\frac{b^5}{a+c}+\frac{c^5}{a+b} = \frac{3}{2}$.
Chứng minh rằng $ab^2+bc^2+ca^2$ \leq 3

2. Chứng minh: $\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{4c^2}{a}$ \geq $a+3b$

3. Cho ab+bc+ca=3. Chứng minh: $\frac{a^4}{b+c}+\frac{b^4}{c+a}+\frac{c^4}{a+b}$ \geq $\frac{3}{2}$

4. Chứng minh: $\frac{a^6}{b^3}+\frac{b^6}{c^3}+\frac{c^6}{a^3}$ \geq $\frac{a^4}{c}+\frac{b^4}{a}+\frac{c^4}{b}$

 

[hien_vuthithanh]

2/

AD BDT cosi
$\dfrac{a^2}{b}$+b\geq 2a
$\dfrac{b^2}{c}$+4c\geq 4b
$\dfrac{4c^2}{a}$+a\geq 4c
\Rightarrow$\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{4c^2}{a}$\geq 2a+4b+4c-b-4c-a=a+3b
dấu = \Leftrightarrow a=b=2c

 

[hien_vuthithanh]

3. Cho ab+bc+ca=3. Chứng minh: $\frac{a^4}{b+c}+\frac{b^4}{c+a}+\frac{c^4}{a+b}$ \geq $\frac{3}{2}$

$\dfrac{a^4}{b+c}+\dfrac{b^4}{c+a}+\dfrac{c^4}{a+b} \ge \dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2}{2(a+b+c)} \ge \dfrac{\dfrac{(a+b+c)^4}{9}}{2(a+b+c)}=\dfrac{(a+b+c)^3}{18}\ge \dfrac{3(ab+bc+ac).\sqrt{3(ab+bc+ca)}}{18}=\dfrac{3}{2}$

 

[hien_vuthithanh]

4. Chứng minh: $\frac{a^6}{b^3}+\frac{b^6}{c^3}+\frac{c^6}{a^3}$ \geq $\frac{a^4}{c}+\frac{b^4}{a}+\frac{c^4}{b}$

$\dfrac{a^6}{b^3}+ \dfrac{a^6}{b^3}+\dfrac{b^6}{c^3} \ge 3\dfrac{a^4}{c}$

TT \Rightarrow $3(\dfrac{a^6}{b^3}+\dfrac{b^6}{c^3}+\dfrac{c^6}{a^3}) \ge3(\dfrac{a^4}{c}+\dfrac{b^4}{a}+\dfrac{c^4}{b})$

\Rightarrow ◘

 

[lp_qt]

Câu 3

$\dfrac{4a^{4}}{b+c}+b+c\ge 4a^{2}$

$\dfrac{4b^{4}}{a+c}+a+c \ge 4b^{2}$

$\dfrac{4c^{4}}{b+a}+b+a\ge 4c^{2}$

$ab+bc+ca=3$ \Rightarrow $a^{2}+b^{2}+c^{2}\ge 3$

xét $4S \ge 4a^{2}+4b^{2}+4c^{2}-2(a+b+c)=3(a^{2}+b^{2}+c^{2})-3+(a-1)^{2}+(b-1)^{2}+(c-1)^{2}\ge 6$

\Rightarrow $S\ge \dfrac{3}{2}$

 

[tranglinh1299]

3/AD BDT cosi
$\dfrac{a^2}{b}$+b\geq 2a
$\dfrac{b^2}{c}$+4c\geq 4b
$\dfrac{4c^2}{a}$+a\geq 4c
\Rightarrow$\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{4c^2}{a}$\geq 2a+4b+4c-b-4c-a=a+3b
dấu = \Leftrightarrow a=b=2c[/QUOTE]


mình ko hiểu chỗ này lắm. bạn nào chỉ giúp với!

 

[hien_vuthithanh]

Áp dụng Cosi : $\dfrac{b^2}{c}+4c \ge 2\sqrt{\dfrac{b^2.4c}{c}}=4b $

lp : đừng vô sủa linh tinh nữa nha .Xấu của t )