Bất đẳng thức

[skysport_fc]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1/ C/m các bất đẳng thức:
a. [TEX]x^2+ y^2+ z^2+ t^2 \geq x( y+z+t)[/TEX]
b. [TEX](a+ b)( a^3 + b^3 ) \leq 2( a^4 + b^4)[/TEX]
c. [TEX](a+b)^4 \leq 2( a^4 + b^4 + 6a^2b^2 [/TEX])

2/ Cho a,b là 2 số dương thỏa mãn a+b =1
C/m: $\dfrac{a^2}{a+1} + \dfrac{b^2}{b+1} \ge \dfrac{1}{3}$

 

[thuyduong1805]

1/ C/m các bất đẳng thức:
a. [TEX]x^2+ y^2+ z^2+ t^2 \geq x( y+z+t)[/TEX]
b. [TEX](a+ b)( a^3 + b^3 ) \leq 2( a^4 + b^4)[/TEX]
c. [TEX](a+b)^4 \leq 2( a^4 + b^4 + 6a^2b^2 [/TEX])

2/ Cho a,b là 2 số dương thỏa mãn a+b =1
C/m: [TEX]a^2/ a+1 + b^2/ b+1 \geq 1/3[/TEX]

1, a, áp dụng bất đẳng thức ta cso :
[TEX]x^2+y^2 [/TEX] \geq 2xy
[TEX]y^2+z^2 [/TEX]\geq 2xz
[TEX]z^2+t^2 [/TEX]\geq 2zt
cộng vế vs vế ta được 2 [TEX] x^2+y^2 +x^2 +t^2 [/TEX] \geq 2 ( xy +yz+zt )
\Rightarrow đcpcm

 

[thuyduong1805]

1/ C/m các bất đẳng thức:
a. [TEX]x^2+ y^2+ z^2+ t^2 \geq x( y+z+t)[/TEX]
b. [TEX](a+ b)( a^3 + b^3 ) \leq 2( a^4 + b^4)[/TEX]
c. [TEX](a+b)^4 \leq 2( a^4 + b^4 + 6a^2b^2 [/TEX])

2/ Cho a,b là 2 số dương thỏa mãn a+b =1
C/m: [TEX]a^2/ a+1 + b^2/ b+1 \geq 1/3[/TEX]

2, áp dụng bất đăng thức bcs ta có :
[TEX] a^2/ a+1 +b^2/ b+1 [/TEX] \geq [TEX](a+b)^2/ a+b+1+1[/TEX]
=[TEX](a+b)^2/ a+b+2[/TEX]
mad có a+b = 1 \Rightarrow [TEX] a^2/ a+1 +b^2/ b+1 [/TEX] \geq 1/3 (đcpcm )
dấu = xảy ra \Leftrightarrow a=b=1/2

 

[vipboycodon]

1, a, áp dụng bất đẳng thức cosi ta cso :
[TEX]x^2+y^2 [/TEX] \geq 2xy
[TEX]y^2+z^2 [/TEX]\geq 2xz
[TEX]z^2+t^2 [/TEX]\geq 2zt
cộng vế vs vế ta được 2 [TEX] x^2+y^2 +x^2 +t^2 [/TEX] \geq 2 ( xy +yz+zt )
\Rightarrow đcpcm

Bạn làm sai rồi.
1a.
$x^2+y^2+z^2+t^2 \ge x(y+z+t)$
<=> $\dfrac{x^2}{4}-xy+y^2+\dfrac{x^2}{4}-xz+z^2+\dfrac{x^2}{4}-xt+t^2+\dfrac{x^2}{4} \ge 0$
<=> $(\dfrac{x}{2}-y)^2+(\dfrac{x}{2}-z)^2+(\dfrac{x}{2}-t)^2+\dfrac{x^2}{4} \ge 0$ (đúng)
Dấu "=" xảy ra khi $x = y = z = t = 0$

 

[thuyduong1805]

Bạn làm sai rồi.
1a.
$x^2+y^2+z^2+t^2 \ge x(y+z+t)$
<=> $\dfrac{x^2}{4}-xy+y^2+\dfrac{x^2}{4}-xz+z^2+\dfrac{x^2}{4}-xt+t^2+\dfrac{x^2}{4} \ge 0$
<=> $(\dfrac{x}{2}-y)^2+(\dfrac{x}{2}-z)^2+(\dfrac{x}{2}-t)^2+\dfrac{x^2}{4} \ge 0$ (đúng)
Dấu "=" xảy ra khi $x = y = z = t = 0$

tek mk k áp dụng cosi mà mk áp dụng BĐT đk hông


@manhnguyen0164: Bạn xem lại cách viết của mình đi nhé, nên tuân theo nội quy diễn đàn. Viết Tiếng Việt có dấu, không dùng những từ không có trong từ điển tiếng Việt.

 

[soccan]

tek mk k áp dụng cosi mà mk áp dụng BĐT đk hông

Cái bài chứng minh của bạn đúng nhưng lạc đề =))

 

[manhnguyen0164]

1b. $2(a^4+b^4)-(a+b)(a^3+b^3)=a^4-a^3b+b^4-ab^3=(a-b)(a^3-b^3)$

$=(a-b)^2(a^2+ab+b^2) \ge 0$

 

[eye_smile]

1c,BĐT \Leftrightarrow $a^4+b^4+6a^2b^2+4a^3b+4ab^3 \le 2a^4+2b^4+12a^2b^2$

\Leftrightarrow $4a^3b+4ab^3 \le a^4+b^4+6a^2b^2$

\Leftrightarrow $(a^2+b^2)^2-4ab(a^2+b^2)+4a^2b^2 \ge 0$

\Leftrightarrow $(a^2+b^2-2ab)^2 \ge 0$

\Leftrightarrow $(a-b)^4 \ge 0$