Bất đẳng thức

[linh954]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Mở đầu 1 bài thui
Tam giác ABC có độ dài 3 cạnh là a, b, c và có chu vi là 2
a, CMR [TEX]a^2+b^2+c^2+2abc<2[/TEX]
b, CMR[TEX] a^2+b^2+c^2+2abc \geq \frac{52}{27}[/TEX]
Cố gắng nha

 

[dark_phoenix]

\frac{a}{b}

Mở đầu 1 bài thui
Tam giác ABC có độ dài 3 cạnh là a, b, c và có chu vi là 2
a, CMR [TEX]a^2+b^2+c^2+2abc<2[/TEX]
b, CMR[TEX] a^2+b^2+c^2+2abc \geq \frac{52}{27}[/TEX]
Cố gắng nha

a) vì a,b,c là 3 cạnh của tam giác nên
a< b+c <=> 2a < a+b+c <=> a<1 <=> 1-a> 0
tương tự ta có 1-b > 0, 1-c >0
nhân vế theo vế (1-a)(1-b)(1-c) > 0
[TEX]\Leftrightarrow 1- a -b -c +ac + ab + bc -abc > 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow ab + ac + bc > a+b+c -1+ abc[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow ab + ac + bc > 1 + abc[/TEX]
ta có : [TEX]4=(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 +2bc + 2ac + 2ab > a^2 + b^2 + c^2 + 2 + 2abc[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow a^2 + b^2 + c^2 + 2abc < 2[/TEX]
b) [TEX] a^2+b^2+c^2+2abc \geq \frac{52}{27}(1)[/TEX]
(1) [TEX]\Leftrightarrow (a+b+c)^2 +2abc - 2(ab+ac+bc) \geq \frac{52}{27}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 4 +2abc - 2(ab+ac+bc) \geq \frac{52}{27}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow ab+ac+bc -abc \leq\frac{28}{27}[/TEX]
Ta có [TEX](1-a)(1-b)(1-c) \leq (\frac{(1-a+1-b+1-c)}{3})^3= \frac{1}{27}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 1 -a-b-c -(ab+bc+ac) -abc \leq \frac{1}{27}[/TEX]
[TEX](ab+bc+ac)-abc \leq \frac{1}{27}+1 = \frac{28}{27}[/TEX] (Đúng )
=> [TEX] a^2+b^2+c^2+2abc \geq \frac{52}{27}[/TEX]