bat dang thuc

[huan2122000]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cau 1, cho a, b, c >0 . chung minh rang $\dfrac{a^3}{b} + \dfrac{b^3}{c} + \dfrac{c^3}{a} \ge ab + bc + ca$
cau 2, cho x, y, z > 0 va $\dfrac{1}{1 + x} + \dfrac{1}{1 + y} + \dfrac{1}{1 + z} = 2$. chung minh rang $xyz \le \frac{1}{8}$
cau 3, cho x, y, z la 3 so thuc duong va $x+y+z \le 1$ . chung minh rang $\sqrt{x^2+\dfrac{1}{y^2}}+\sqrt{y^2+\dfrac{1}{z^2}}+\sqrt{z^2+\dfrac{1}{x^2}} \ge \sqrt{82}$
cau 4, cho x, y, z >0 va $x+y+z=6$ .chung minh $8^x+8^y+8^z \ge 4^{x+1}+4^{y+1}+4^{z+1}$
cau 5, cho x,y,z>0 va xyz=1. chung minh $\dfrac{\sqrt{1+x^3+y^3}}{xy}+\dfrac{\sqrt{1+y^3+z^3}}{yz}+\dfrac{\sqrt{1+z^3+x^3}}{zx} \ge 3\sqrt{3}$
cau 6, cho cac so thuc duong x,y,z thoa man x+2y+3z=18. chung minh $\dfrac{2y+3z+5}{1+x}+\dfrac{3z+x+5}{1+2y}+\dfrac{x+2y+5}{1+3z} \ge \dfrac{51}{7}$
cau 7, cho cac so duong a,b,c thoa man $a+b+c \le 2$ . chung minh $\sqrt{a^2+\dfrac{1}{b^2}}+\sqrt{b^2+\dfrac{1}{c^2}}+\sqrt{c^2+\dfrac{1}{a^2}} \ge \dfrac{\sqrt{97}}{2}$
cau 8, cho a,b,c la do dai 3 canh cua mot tam giac co chu vi bang 6. chung minh $3(a^2+b^2+c^2)+2abc \ge 52$

cau 9, cho a,b,c la do dai ba canh cua mot tam giac co chu vi bang 1. chung minh $\dfrac{2}{9} \le a^3+b^3+c^3+3abc < \dfrac{1}{4}$
cau 10, cho a,b,c la cac so duong thoa man a+b+c=1.chung minh $\dfrac{ab}{c+1}+\dfrac{bc}{a+1}+\dfrac{ca}{b+1} \le \dfrac{1}{4}$
cau 11, cho x,y,z la ba so thuc duong thoa man dieu kien xyz=1 . chung minh $\dfrac{1}{1+x^3+y^3}+\dfrac{1}{1+y^3+z^3}+\dfrac{1}{1+z^3+x^3} \le 1$

 

[minhhieupy2000]

1

câu 1:
Ta có $a^3+b^3 \ge ab(a+b)$
\Rightarrow $\dfrac{a^3}{b} +b^2 \ge a(a+b)$
T/tự:
\Rightarrow $\dfrac{b^3}{c} +c^2 \ge b(b+c)$
\Rightarrow $\dfrac{c^3}{a} +a^2 \ge c(c+a)$
Cộng 3 BĐT trên ta được :

$VT + a^2+b^2+c^2 \ge a^2+b^2+c^2 +ab+bc+ca$

\Rightarrow đpcm

 

[minhhieupy2000]

2

$\dfrac{1}{1 + x} + \dfrac{1}{1 + y} + \dfrac{1}{1 + z} = 2$
\Rightarrow $\dfrac1{1+x}=1-\dfrac1{y+1} + 1-\dfrac1{z+1}=\dfrac{y}{y+1}+\dfrac{z}{z+1} \ge 2\sqrt{\dfrac{yz}{(y+1)(z+1)}}$

tương tự :
\Rightarrow $\dfrac1{1+y} \ge 2\sqrt{\dfrac{xz}{(x+1)(z+1)}}$
\Rightarrow $\dfrac1{1+z} \ge 2\sqrt{\dfrac{xy}{(x+1)(y+1)}}$
Nhân 3BĐT trên ta được
$\dfrac1{(x+1)(y+1)(z+1)} \ge 8.\dfrac{xyz}{(x+1)(y+1)(z+1)}$
\Rightarrow $xyz \le \dfrac18$

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 3: Dùng Minkovsky

Bài 4: $(a;b;c)=(2^x; 2^y; 2^z)$ và $abc=64$

Cần chứng minh $a^3+b^3+c^3 \ge 4(a^2+b^2+c^2)$

$a^3-4a^2-16(a-4)=(a-4)^2(a+4) \ge 0 \to a^3-4a^2 \ge 16(a-4)$

Tương tự rồi cộng lại: $VT - VP \ge 16(a+b+c-12) \ge 16(3\sqrt[3]{abc}-12)=0$

Bài 5: Cauchy.

Bài 6: $(a;b;c) =(x;2y; 3z)$

 

[haiyen621]

Áp dụng BĐT $a^3 + b^3$ \geq $ab(a+b)$ (bạn tự chứng minh nhé)
\Rightarrow $x^3 + y^3$ \geq $xy(x+y)$
$y^3 + z^3$ \geq $yz(y+z)$
$x^3 + z^3$ \geq $xz(x+z)$

\Rightarrow $\frac{1}{1+x^3+y^3}+\frac{1}{1+y^3+z^3}+\frac{1}{1 +z^3+x^3}$ \leq $\frac{1}{1+xy(x+y)}+\frac{1}{1+yz(y+z)}+\frac{1}{1+xz(x+z)}$
\Rightarrow $\frac{1}{1+x^3+y^3}+\frac{1}{1+y^3+z^3}+\frac{1}{1 +z^3+x^3}$ \leq $\frac{1}{xyz+xy(x+y)}+\frac{1}{xyz+yz(y+z)}+\frac{1}{xyz+xz(x+z)}$
\Rightarrow $\frac{1}{1+x^3+y^3}+\frac{1}{1+y^3+z^3}+\frac{1}{1 +z^3+x^3}$ \leq $\frac{1}{xy(x+y+z)}+\frac{1}{yz(x+y+z)}+\frac{1}{xz(x+y+z)}$
\Rightarrow $\frac{1}{1+x^3+y^3}+\frac{1}{1+y^3+z^3}+\frac{1}{1 +z^3+x^3}$ \leq $\frac{x+y+z}{xyz(x+y+z)}=1$
\Rightarrow đpcm
Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow $x=y=z=1$

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 8:

Viết lại BDT theo dạng pqr: $3p^2-6q+2r \ge 52 \leftrightarrow 2r-6q \ge -56$

Áp dụng BDT Schur: $2r-6q \ge \dfrac{2p(4q-p^2)}{9}-6q=\dfrac{-2}{3}q-48 \ge \dfrac{-2p^2}{9}-48=-56$

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=2$

Bài 9:

Vế đầu:

Viết lại BDT theo dạng pqr: $p^3-3pq+6r \ge \dfrac{2}{9} \leftrightarrow -q+2r \ge \dfrac{-7}{27}$

Áp dụng BDT Schur: $2r-q \ge \dfrac{8q-2}{9}-q = \dfrac{-q}{9}-\dfrac{6}{27} \ge \dfrac{-p^2-6}{27}=\dfrac{-7}{27}$

Vế sau:

$f(a;b;c)=a^3+b^3+c^3+3abc$

Bằng biến đổi tương đương chứng minh $f(a;b;c) \le f(a;\dfrac{b+c}{a}; \dfrac{b+c}{a})$ với $a=\text{min{a;b;c}}$

$\dfrac{b+c}{2}=t \to a+2t=1 \to \dfrac{1}{3} \ge a=1-2t > 0 \to \dfrac{1}{3}\le t<\dfrac{1}{2}$

$f(1-2t; t;t)=(1-2t)^3+2t^3+3(1-2t)t^2$
$=-12t^3+15t^2-6t+1=-12(t-\dfrac{1}{4})(t-\dfrac{1}{2})^2+\dfrac{1}{4}\le \dfrac{1}{4}$

Đẳng thức xảy ra khi $a=0; b=c=\dfrac{1}{2}$ không thoả mãn.

Vậy $f(a;b;c)<\dfrac{1}{4}$

 

[eye_smile]

1.Cách khác:

$\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}= \dfrac{a^4}{ab}+\dfrac{b^4}{bc}+\dfrac{c^4}{ac} \ge \dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2}{ab+bc+ca} \ge \dfrac{(ab+bc+ca)^2}{ab+bc+ca}=ab+bc+ca$

 

[eye_smile]

4,$8^x+8^x+64 \ge 3.4.4^x$

$8^y+8^y+64 \ge 3.4.4^y$

$8^z+8^z+64 \ge 3.3.4^z$

$4(4^x+4^y+4^z) \ge 4.3\sqrt[3]{4^{x+y+z}}=192$

Cộng theo vế,đc:

$2(8^x+8^y+8^z)+4(4^x+4^y+4^z)+192 \ge 192+12(4^x+4^y+4^z)$

\Leftrightarrow $2(8^x+8^y+8^z)+4(4^x+4^y+4^z)+192 \ge 192+12(4^x+4^y+4^z)$

\Leftrightarrow $2(8^x+8^y+8^z) \ge 2(4^{x+1}+4^{y+1}+4^{z+1})$

\Leftrightarrow $8^x+8^y+8^z \ge 4^{x+1}+4^{y+1}+4^{z+1}$

 

[eye_smile]

10,$\dfrac{ab}{c+1}=ab.\dfrac{1}{(a+c)+(b+c)} \le \dfrac{ab}{4}(\dfrac{1}{a+c}+\dfrac{1}{b+c})$

Tương tự, có: $\dfrac{bc}{a+1} \le \dfrac{bc}{4}(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{a+c})$

$\dfrac{ca}{b+1} \le \dfrac{ca}{4}(\dfrac{1}{b+a}+\dfrac{1}{b+c})$

\Rightarrow $\dfrac{ab}{c+1}+\dfrac{bc}{a+1}+\dfrac{ca}{b+1} \le \dfrac{1}{4}(\dfrac{ab+bc}{a+c}+\dfrac{ab+ac}{b+c}+\dfrac{bc+ac}{a+b})=\dfrac{1}{4}(a+b+c)=\dfrac{1}{4}$

 

[eye_smile]

8,Có: $(3-a)(3-b)(3-c) \le (\dfrac{9-a-b-c}{3})^3=1$

\Leftrightarrow $27-9(a+b+c)+3(ab+bc+ca) \le 1+abc$

\Leftrightarrow $3(ab+bc+ca) \le 1+abc+9(a+b+c)-27=1+abc+9.6-27=abc+28$

\Leftrightarrow $6(ab+bc+ca) \le 2abc+56$

\Leftrightarrow $3(a+b+c)^2 \le 2abc+56+3(a^2+b^2+c^2)$

\Leftrightarrow $2abc+3(a^2+b^2+c^2) \ge 52$

 

[eye_smile]

5,$1+x^3+y^3 \ge 3xy$

\Rightarrow $\dfrac{\sqrt{1+x^3+y^3}}{xy} \ge \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{xy}}$

Tương tự, có: $VT \ge \sqrt{3}.(\dfrac{1}{\sqrt{xy}}+\dfrac{1}{\sqrt{yz}}+\dfrac{1}{\sqrt{zx}}) \ge \sqrt{3}.3$ (Do xyz=1)

7,$VT \ge \sqrt{(a+b+c)^2+(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c})^2} \ge \sqrt{(a+b+c)^2+\dfrac{16}{(a+b+c)^2}+\dfrac{65}{(a+b+c)^2}} \ge \sqrt{8+\dfrac{65}{4}}=\dfrac{\sqrt{97}}{2}$