Bất Đẳng Thức

[bidungnam]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1) cho x+y+z=3, CM [TEX]x^4+y^4+z^4-x^3-y^3-z^3\geq0[/TEX]
2)Chứng tỏ rằng trong mọi tam giác ta đều có [TEX]S\leq\frac{P^2}{3\sqrt[]{3}}[/TEX]
(Biết S là diện tích,2P là chu vi)
3)cho x,y\geq0 thỏa mãn [TEX]x^3+y^3=2[/TEX].CMR [TEX]x^2+y^2\leq2[/TEX]

 

[congtu_ho_nguyen]

x^3+ y^3=2
\RightarrowX^3+y^3+1=3
Mà x^3+y^3+1=3xy(Sd BDT a^3+b^3+c^3= 3abc)
\Rightarrow3xy=3\Leftrightarrowxy=1\Leftrightarrow2xy=2.
Xét hiệu: x^2+y^2-2=[TEX]x^2+y^2[/TEX]-2xy=[TEX] (x-y)^2[/TEX]\geq0
\Rightarrowx^2+y^2\geq2

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 1: $a^4-a^3- (a-1) = (a-1)^2(a^2+a+1)=(a-1)^2\left [ \left ( a+\dfrac{1}{2} \right )^2+\dfrac{3}{4} \right ] \ge 0$

$\rightarrow x^4+y^4+z^4-x^3-y^3-z^3 \ge x+y+z-3 =0$

Bài 2: Theo công thức Heron và áp dụng BDT AM-GM:

$16S^2=3.\dfrac{1}{3}(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c) \le \dfrac{(a+b+c)^4}{27}$

$\to S \le \dfrac{(a+b+c)^2}{4.3\sqrt{3}}=\dfrac{p^2}{3\sqrt{3}}$

Bài 3: Áp dụng BDT Cauchy-Schwarz:

$x^2+y^2 \le \sqrt{(x+y)(x^3+y^3)}=\sqrt{2(x+y)}$

$a^3-3a+2=(a+2)(a-1)^2 \ge 0 \to a^3+2 \ge 3a$

Áp dụng vào được $x+y \le \dfrac{x^3+y^3+4}{3}=2$

$x^2+y^2 \le \sqrt{2(x+y)} \le 2$.