Bất đẳng thức

M

manhnguyen0164

M

minhhieupy2000

2

Ta có: $ a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^2+b^2-ab$
Lại có: $ a^2+b^2 \ge \dfrac{(a+b)^2}{2}=\dfrac{1}{2}\ ; \ \ -ab \ge -\dfrac{(a+b)^2}{4} =-\dfrac{1}{4}$
\Rightarrow $a^3+b^3\ge\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{4}$
...................
Bài này dễ thế này mà ko biêt làm =))) =))
 
Last edited by a moderator:
K

kisihoangtoc

1

[TEX]3 > \frac{2(a+b+c)}{3} \geq \sqrt[3]{(a+b)(b+c)(c+a)}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 27 > (a+b)(b+c)(c+a)[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 1 > \frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{27}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (a+b)(b+c)(c+a) > \frac{((a+b)(b+c)(c+a))^2}{27}[/TEX](1)
[TEX](a+b)^2\geq4ab[/TEX]
[TEX](b+c)^2\geq4bc[/TEX]
[TEX](c+a)^2\geq4ca[/TEX]
[TEX]\Rightarrow ((a+b)(b+c)(c+a))^2 \geq 64 a^2 b^2 c^2 = (a+b+c)^3 a^2 b^2 c^2[/TEX]
[TEX]\geq 27 a^3 b^3 c^3[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \frac{((a+b)(b+c)(c+a))^2}{27} \geq a^3 b^3 c^3[/TEX] (2)
(1)(2) [TEX]\Rightarrow (a+b)(b+c)(c+a) > a^3 b^3 c^3[/TEX]
p/s: dấu = không xảy ra đc
 
K

kisihoangtoc

3

[TEX]zx+yz=z(x+y) \leq \frac{z^2+(x+y)^2}{2}=\frac{x^2+y^2+z^2+2xy}{2}[/TEX]
[TEX]=\frac{5}{6}+xy[/TEX]
[TEX]zx+yz-xy \leq \frac{5}{6}+xy-xy=\frac{5}{6}<1[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \frac{zx+yz-xy}{xyz}<\frac{1}{xyz}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{1}{z}<\frac{1}{xyz}[/TEX]
 
Last edited by a moderator:
M

minhhieupy2000

kisihoangtoc said:
[TEX]3 > \frac{2(a+b+c)}{3} \geq \sqrt[3]{(a+b)(b+c)(c+a)}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 27 > (a+b)(b+c)(c+a)[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 1 > \frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{27}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (a+b)(b+c)(c+a) > \frac{((a+b)(b+c)(c+a))^2}{27}[/TEX](1)
[TEX](a+b)^2\geq4ab[/TEX]
[TEX](b+c)^2\geq4bc[/TEX]
[TEX](c+a)^2\geq4ca[/TEX]
[TEX]\Rightarrow ((a+b)(b+c)(c+a))^2 \geq 64 a^2 b^2 c^2 = (a+b+c)^3 a^2 b^2 c^2[/TEX]
[TEX]\geq 27 a^3 b^3 c^3[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \frac{((a+b)(b+c)(c+a))^2}{27} \geq a^3 b^3 c^3[/TEX] (2)
(1)(2) [TEX]\Rightarrow (a+b)(b+c)(c+a) > a^3 b^3 c^3[/TEX]
p/s: dấu = không xảy ra đc
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
Làm hơi bị dài ;)
Cách ngắn hơn đây:
Dùng BĐT AM-GM: $(a+b)(b+c)(c+a) \ge 8abc.$
lại có: $abc =(\sqrt[3]{abc})^3 \le (\dfrac{a+b+c}{3})^3=\dfrac{64}{27}<2\sqrt{2}$
$\ $\Rightarrow $a^2b^2c^2<8$ \Rightarrow $a^3b^3c^3<8abc$$\ $\Rightarrow $a^3b^3c^3<(a+b)(b+c)(c+a)$ =)) =)) =))
 
H

huynhbachkhoa23

minhhieupy2000 said:
Ta có: $ a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^2+b^2-ab$
Lại có: $ a^2+b^2 \ge \dfrac{(a+b)^2}{2}=\dfrac{1}{2}\ ; \ \ -ab \ge -\dfrac{(a+b)^2}{4} =-\dfrac{1}{4}$
\Rightarrow $a^3+b^3\ge\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{4}$
...................
Bài này dễ thế này mà ko biêt làm =))) =))
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Bài này dễ thế này mà làm dài dòng quá :)|

Holder: $(1+1)(1+1)(a^3+b^3) \ge (a+b)^3=1$

$\leftrightarrow a^3+b^3 \ge \dfrac{1}{4}$ :)|

Hoặc

Cauchy-Schwarz: $a^3+b^3 \ge \dfrac{(a^2+b^2)^2}{a+b} \ge \dfrac{(a+b)^2}{4}=\dfrac{1}{4}$ :)|
 
M

minhhieupy2000

huynhbachkhoa23 said:
Bài này dễ thế này mà làm dài dòng quá :)|

Holder: $(1+1)(1+1)(a^3+b^3) \ge (a+b)^3=1$

$\leftrightarrow a^3+b^3 \ge \dfrac{1}{4}$ :)|

Hoặc

Cauchy-Schwarz: $a^3+b^3 \ge \dfrac{(a^2+b^2)^2}{a+b} \ge \dfrac{(a+b)^2}{4}=\dfrac{1}{4}$ :)|
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Phải viết ra cho ng' ta hiểu chứ !!!! với lại mình chỉ có học bđt BCS thôi à!! ko bik holder với mấy cái kia@@~~
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom