Bất đẳng thức

[trungthinh.99]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Cho ba số thực dương x,y,z. Chứng minh rằng:

$8(x^3+y^3+z^3)$\leq $(x+y)^3+(y+z)^3+(z+x)^3$

2.Chứng minh:

$F=\frac{1}{1^2+2^2}+\frac{1}{2^2+3^2}+\frac{1}{3^2+4^2}+...+\frac{1}{n^2+(n+1)^2}<\frac{1}{2}$

3.Cho x,y,z là ba số thực dương thỏa mãn $x+y+z=3$. CM BĐT sau:

$\frac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}+\frac{y}{y+\sqrt{3y+zx}}+\frac{z}{z+\sqrt{3z+xy}}$ \leq 1

 

[braga]

$\fbox{3}.$ Ta có: $$\dfrac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}=\dfrac{x}{x+\sqrt{(x+y+z)x+z}}=\dfrac{x}{x+\sqrt{(x+y)(x+z)}}\leq \dfrac{x}{x+\sqrt{xy}+\sqrt{xz}}=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}$$

 

[toiyeu9a3]

Bài 1:
( x + y)^3 \leq4 ( x^3 + y^3)
\Leftrightarrow 3(x+ y)(x - y)^2 \geq0 (Luôn đúng)
Tương tự và cộng vế với vế ta có VT \geq VP

 

[trungthinh.99]

Không ai giải bài 2 à? À, vừa bổ sung câu rút gọn, mọi người giải luôn

 

[lamnguyen.rs]

Không ai giải bài 2 à? À, vừa bổ sung câu rút gọn, mọi người giải luôn

$n^2 + (n + 1)^2 > 2n(n + 1)$ (Cauchy, dấu = không xảy ra).
$<=> \dfrac{1}{n^2 + (n + 1)^2} < \dfrac{1}{2n(n + 1)}$
Suy ra:
$\dfrac{1}{1^2 + 2^2} + \dfrac{1}{2^2 + 3^2} + ... + \dfrac{1}{n^2 + (n + 1)^2}$
$<\dfrac{1}{2.1.2} + \dfrac{1}{2.2.3} + ... + \dfrac{1}{2.n.(n+1)}$
$=\dfrac{1}{2}(\dfrac{1}{1.2} + \dfrac{1}{2.3} + ... + \dfrac{1}{n(n +1)})$
$=\dfrac{1}{2}(1 - \dfrac{1}{n+1})$
$<\dfrac{1}{2}$
<=> đpcm.