bất đẳng thức

[su10112000a]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

câu 1:
Cho $a+b+c+d=7$ và $a^2+b^2+c^2+d^2=13$. Chứng minh rằng:
$1$\leq$a, b, c, d$\leq$\frac{5}{2}$
câu 2:
Cho $a, b, c > 0$. Chứng minh rằng:
$\frac{a}{a+b}$ + $\frac{b}{b+c}$ + $\frac{c}{c+a}$ < $\sqrt{\frac{a}{b+c}}$ + $\sqrt{\frac{b}{c+a}}$ + $\sqrt{\frac{c}{a+b}}$

 

[chonhoi110]

Làm trước câu dễ :3

câu 1:
Cho $a+b+c+d=7$ và $a^2+b^2+c^2+d^2=13$. Chứng minh rằng:
$1$\leq$a, b, c, d$\leq$\frac{5}{2}$

Ta có $a+b+c+d=7 \Longrightarrow b+c+d=7-a$

$a^2+b^2+c^2+d^2=13 \Longrightarrow b^2+c^2+d^2=13-a^2$

Áp dụng bđt $(b+c+d)^2 \le 3(b^2 + c^2 + d^2)$

$\Longrightarrow (7-a)^2 \le 3 (13-a^2)$

$\Longleftrightarrow 2(a-1)(2a-5) \le 0$

Xong

 

[eye_smile]

2,Dễ dàng c/m VP>2
Tham khảo cách c/m tại đây: http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?t=359129&page=8
#71 nhá

+C/m VT<2
Xét:
$\dfrac{a}{a+b}-\dfrac{a+c}{a+b+c}=\dfrac{-bc}{(a+b+c)(a+b)}<0$
TT với 2 số còn lại, cộng theo vế \Rightarrow VT<2
\Rightarrow đpcm

 

[riverflowsinyou1]

Cách khác
$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}>\frac{a+b+c}{a+b+c}=1$
$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}=3-(\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{a+c})<3-1=2$ (1)
Theo Cauchy:
$\sqrt{\frac{a+b}{c}}$ \leq $\frac{\frac{a+b}{c}+1}{2}=\frac{a+b+c}{c.2}$
\Rightarrow $\sum \sqrt{\frac{c}{a+b}}$ \geq $2$ (2)
Tư (1) ; (2) \Rightarrow điều phải chứng minh