Bất đẳng thức

[phuong_july]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho các số a,b,c dương có tích $abc=1$.
Chứng minh rằng:
$\frac{1}{1+a+b}+\frac{1}{1+b+c}+\frac{1}{1+c+a}$ \leq $\frac{1}{2+a}+\frac{1}{2+b}+\frac{1}{2+c}$

 

[letsmile519]

Đặt:

$S=a+b+c$

$P=ab+bc+ca$

$Q=abc$

\Rightarrow $VT=\frac{1}{S+1-a}+\frac{1}{S+1-b}+\frac{1}{S+1-c}=\frac{\alpha _1}{\alpha _2}$

\Leftrightarrow $\alpha _1=\sum (1+a+b)(1+a+c)=S^2+4S+3+P$

$\alpha _2=(S+1-a)(S+1-b)(S+1-c)=S^2+2S+PS+P$

$VP=\sum \frac{1}{2+a}=\frac{12+4S+P}{9+4S+2P}$

H ta di CM

$\frac{S^2+4S+P+3}{S^2+2S+PS+P}$\leq $\frac{12+4S+P}{9+4S+2P}$

\Leftrightarrow $\frac{P-3}{9+4S+2P}$\leq $\frac{PS-2S-3}{S^2+2S+PS+P}$

\Leftrightarrow $(P-3)(S^2+2S+PS+P)$\leq $(PS-2S-3)(9+4S+2P)$

\Leftrightarrow $(3P-5)S^2+(S-1)P^2+6PS$\geq $24S+3P+27$

Vì $abc=1$ nên $S$,$P$\geq3 do đó

$VT$\geq$4S^2+2P^2+6PS$\geq$12S+6(P-1)S+6S+2P^2$\geq$24S+3P+(P^2+6S)$\geq$VP$

Đẳng thức xảy ra chỉ khi $S=P=3$ hay $a=b=c=1$