bất đẳng thức

[lynkpine]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Cho 0<a,b,c,d<1 chứng minh rằng có ít nhất 1 bất đẳng thức sau sai:
2a(1-b)>1; 3b(1-c)>2; 8c(1-d)>1; 32d(1-a)>3

2. Cho x,y là các số thực thỏa mãn $x,y \ge 0$ và $x^2+y^2=1$ chứng minh rằng $\dfrac{1}{\sqrt{2}} \le x^3+y^3 \le 1$

3. Cho a,b,c >0 và a>=b>=c chứng minu rằng
a. bc/a +ca/b +ab/c>=a+b+c
b. a/b^2 +b/c^2 +c/a^2>=1/a+1/b+1/c

 

[vipboycodon]

Bài 3:
$\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ac}{b}+\dfrac{ab}{c} \ge a+b+c$
Theo cauchy ta có:
$\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ac}{b} \ge 2c$
$\dfrac{ac}{b}+\dfrac{ab}{c} \ge 2a$
$\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ab}{c} \ge 2b$
Cộng vế với vế => đpcm

 

[eye_smile]

Câu 2o ${x^2}+{y^2}=1$ \Rightarrow x \leq 1; y \leq 1
\Rightarrow ${x^3}$ \leq ${x^2}$; ${y^3}$ \leq ${y^2}$
\Rightarrow ${x^3}+{y^3}$ \leq ${x^2}+{y^2}=1$

AD Cauchy-Schwarz, có:
$x+y$ \leq $\sqrt{2({x^2}+{y^2})}=\sqrt{2}$
$1={({x^2}+{y^2})^2}$ \leq $(x+y)({x^3}+{y^3})$ \leq $({x^3}+{y^3})\sqrt{2}$
\Rightarrow ${x^3}+{y^3}$ \geq $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$

 

[congchuaanhsang]

1, Giả sử cả 3 bđt trên đều đúng

Ta sẽ được: $1536abcd(1-b)(1-c)(1-d)(1-a)$>$6$

\Leftrightarrow $a(1-a)b(1-b)c(1-c)d(1-d)$>$\dfrac{1}{256}$

Mà theo Cauchy $x(1-x)$\leq$\dfrac{1}{4}$

nên VT\leq$\dfrac{1}{256}$

\Rightarrow đpcm