bất đẳng thức

[tiendungst_1999]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho $x,y$là các số thực thỏa mãn:$x^2+y^2-xy=1$

C/m: $x^4+y^4-x^2y^2$\geq$\dfrac{1}{9}$

 

[soicon_boy_9x]

Ta có: $1=x^2+y^2-xy \leq \dfrac{3}{2}(x^2+y^2)$

$\leftrightarrow x^2+y^2 \geq \dfrac{2}{3}$

$x^2+y^2-x^2y^2 \geq \dfrac{1}{4}(x^2+y^2)^2 \geq \dfrac{1}
{4}.\dfrac{2^2}{3^2}=\dfrac{1}{9}$

Dấu "=" xảy ra $\leftrightarrow (x;y)=(\dfrac{\sqrt{3}}{3};\dfrac{-\sqrt{3}}
{3});(\dfrac{-\sqrt{3}}{3}:\dfrac{\sqrt{3}}{3})$

 

[tiendungst_1999]

Ta có: $1=x^2+y^2-xy \leq \dfrac{3}{2}(x^2+y^2)$

$\leftrightarrow x^2+y^2 \geq \dfrac{2}{3}$

$x^2+y^2-x^2y^2 \geq \dfrac{1}{4}(x^2+y^2)^2 \geq \dfrac{1}
{4}.\dfrac{2^2}{3^2}=\dfrac{1}{9}$

Dấu "=" xảy ra $\leftrightarrow (x;y)=(\dfrac{\sqrt{3}}{3};\dfrac{-\sqrt{3}}
{3});(\dfrac{-\sqrt{3}}{3}:\dfrac{\sqrt{3}}{3})$

bạn làm rõ hơn đươc không, với lại mình thấy phần chữ đỏ không thỏa mãn yêu cầu đề bài lắm

 

[soicon_boy_9x]

bạn làm rõ hơn đươc không, với lại mình thấy phần chữ đỏ không thỏa mãn yêu cầu đề bài lắm

Có gì mà không thỏa mãn bạn

Áp dụng bất đẳng thức $a^2+b^2 \geq \dfrac{(a+b)^2}{2} \\ ab \leq
\dfrac{(a+b)^2}{4}$

Trừ từng vế $\rightarrow a^2+b^2-ab \geq \dfrac{(a+b)^2}{4} \rightarrow
x^4+y^4-x^2y^2 \geq \dfrac{(x^2+y^2)^2}{4}$

 

[congchuaanhsang]

Áp dụng $xy$\leq$\dfrac{1}{2}(x^2+y^2)$

$-x^2y^2$ \geq $\dfrac{-1}{2}(x^4+y^4)$

và Cauchy - Schwarz: $x^4+y^4$ \geq $\dfrac{(x^2+y^2)^2}{2}$