Bất đẳng thức

[quylua224]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

bài 1 : a, cho x+y+xy = 8 . Tìm min A = $x^2 +y^2$
b, Cho x + y + xy = 15 . Tìm min B = $x^2 + y^2$
c, Cho x+y+z+xy+yz+xz = 36 . Tìm min C = $x^2 + y^2 + z^2$
d, Với a,b,c là các số dương thỏa mãn đk a+b+c+ab+bc+ca = 6abc . CMR: $\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}$ \geq 3
Bài 2 : CM BĐT :
a, $\frac{a}{b} + \frac{b}{a}$ \geq 2
b, (a+b)($\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$) \geq 4 ; $\frac{1}{b} + \frac{1}{b}$ \geq $\frac{4}{a+b}$ ( với a,b > 0 )
c, (a+b+c)($\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$) \geq 9 (a,b,c>0)
d, $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$ \geq $\frac{9}{a+b+c}$ (với a,b,c>0)
e, $\frac{a}{b+c} + \frac{b}{a+c} + \frac{c}{b+a}$ \geq $\frac{3}{2}$
f, $\frac{a^2}{b+c} + \frac{b^2}{a+c} + \frac{c^2}{b+a}$ \geq $\frac{a+b+c}{2}$ (a,b,c > 0)

 

[nhokdangyeu01]

Bài 2
a \frac{a}{b}+$\frac{b}{a}$ \geq 2\sqrt[]{\frac{a}{b}.$\frac{b}{a}$}=2
Dấu = khi \frac{a}{b}=$\frac{b}{a}$ và a, b>0 \Leftrightarrow a=b>0

 

[nhokdangyeu01]

Bài 2
b $(a+b)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})$ \geq $2\sqrt[]{ab}.2\sqrt[]{\frac{1}{a}.\frac{1}{b}}=4$
Dấu = khi $a=b$
Ta có
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$ \geq $\frac{(1+1)^2}{ab}=\frac{4}{a+b}$
Dấu = khi a=b

 

[nhokdangyeu01]

Bài 2
c Ta có
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$ \geq $\frac{(1+1+1)^2}{a+b+c}=\frac{9}{a+b+c}$
Cách 2
$(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$ \geq $3\sqrt[]{abc}.3\sqrt[3]{\frac{1}{a}.\frac{1}{b}.\frac{1}{c}}=9$
\Rightarrow $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$ \geq $\frac{9}{a+b+c}$
Dấu = khi $a=b=c$

 

[nhokdangyeu01]

Bài 2
d
Ta có
$\frac{a}{b+c}+1+\frac{b}{c+a}+1+\frac{c}{a+b}+1$
= $\frac{a+b+c}{b+c}+\frac{a+b+c}{c+a}+\frac{a+b+c}{a+b}$
= $(a+b+c)(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b})$
= $\frac{1}{2}[(a+b)+(b+c)+(c+a)](\frac{1}{b+c}.\frac{1}{c+a}.\frac{1}{a+})$
\geq $\frac{1}{2}.3\sqrt[3]{(a+b)(b+c)(c+a)}.3\sqrt[3]{\frac{1}{b+c}.\frac{1}{c+a}.\frac{1}{a+b}}$
= $\frac{9}{2}$
\Rightarrow $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}$ \geq $\frac{3}{2}$

 

[nhokdangyeu01]

f
Ta có
$\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}$ \geq $\frac{(a+b+c)^2}{b+c+c+a+a+b}$ = $\frac{a+b+c}{2}$

 

[phuong_july]

Bài 2e. (BDT Nesbitt).
Xét:
$A=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}$

$B=\frac{b}{b+c}+\frac{c}{a+c}+\frac{a}{a+b}$

$C=\frac{c}{b+c}+\frac{a}{a+c}+\frac{b}{a+b}$

Ta có: M+N=3.
Áp dụng BDT AM-GM ta có:

$A+B=\frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{a+c}+\frac{a+c}{a+b}$ \geq3.

$A+C=\frac{a+c}{b+c}+\frac{b+a}{a+c}+\frac{b+c}{a+b}$ \geq 3.

Vậy $B+C+2A$ \geq6. \Rightarrow $A$ \geq$\frac{3}{2}$
dấu = xảy ra khi: $a=b=c$