bất đẳng thức

B

braga

Cách 1: $Cauchy$ ngược dấu:
$$\sum \dfrac{a+1}{b^{2}+1}=\sum \left ( a+1-\dfrac{b^{2}\left ( a +1 \right )}{a+1} \right ) \geq \sum \left ( a+1-\dfrac{b^{2}\left ( a+1 \right )}{2b} \right ) \\ =\sum \left ( a+1-\dfrac{b+ab}{2} \right ) = \dfrac{a+b+c}{2}-\dfrac{ab+bc+ca}{2}+3=\dfrac{9}{2}-\dfrac{\left ( a+b+c \right )^{2}}{6}=3$$
Dấu bằng xảy ra $\iff a=b=c=1.$
Cách 2: Ta có: $$VT\ge 3\sqrt[3]{\dfrac{(a+1)(b+1)(c+1)}{(ab+1)(bc+1)(ca+1)}}$$
Ta cần chứng minh $(a+1)(b+1)(c+1)\ge (ab+1)(bc+1)(ca+1)$
Thật vậy bđt tương đương với:
$$abc+ab+bc+ca+a+b+c+3\ge a^2b^2c^2+abc(a+b+c)+ab+bc+ca+1 \\ \iff 3\ge a^2b^2c^2+2abc$$
BĐT trên hiển nhiên đúng vì theo $AM-GM$ thì $abc\le 1$
Đẳng thức xảy ra $\iff a=b=c=1$
 
T

tiendungst_1999

Cách 1 mình chưa hiểu lắm, bạn giải thích rõ hơn được không?
 
C

congchuaanhsang

$\dfrac{a+1}{b^2+1}=\dfrac{(a+1)(b^2+1)-b^2(a+1)}{b^2+1}=a+1-\dfrac{b^2(a+1)}{b^2+1}$

\geq$a+1-\dfrac{b^2(a+1)}{2b}=a+1-\dfrac{ab+b}{2}$ (Cauchy)

Tương tự \Rightarrow...................
 
T

tiendungst_1999

bạn giải thích không hợp lí :
$\dfrac{a+1}{b^2+1}$=$\dfrac{(a+1)(b^2+1)-b^2(a+1)}{b^2+1}$=$a+1-\dfrac{b^2(a+1)}{b^2+1}$

\geq$a+1-\dfrac{b^2(a+1)}{2b}$=$a+1-\dfrac{ab+b}{2}$ (Cauchy)

chỗ đó phải là dấu bé chứ bạn
 
F

forum_

$\dfrac{b^2(a+1)}{b^2+1}$ \leq $\dfrac{b^2(a+1)}{2b} (Cauchy)

=> -\dfrac{b^2(a+1)}{b^2+1}$ \geq $-\dfrac{b^2(a+1)}{2b}$
 
T

tiendungst_1999

Mình quên, xin lỗi các bạn----------------------------------------------------------------------------------
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom