bất đẳng thức

[sieuquayno1]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1/cho a,b,c,d là các số thực sao cho $a^2+b^2+c^2+d^2=4$.cm: $a^3+b^3+c^3+d^3\le 8$
2/cho a,b c là các số thực không âm.cm:$a^2+b^2+c^2+2abc+1\ge 2(ab+bc+ca)$
3/cho a,b,claf các số thực khác nhau từng đôi một.
cm:$\dfrac{a^2}{(b-c)^2}+\dfrac{b^2}{(c-a)^2}+\dfrac{c^2}{(a-b)^2}\ge2$
4/cho a,b,c là các số không âm thỏa mãn $a+b+c=3.$
cm:$\dfrac{1}{2ab^2+1}+\dfrac{1}{2bc^2+1}+\dfrac{1}{2ca^2+1}\ge 1$
5/cho a,b,c là các số không âm thỏa mãn $ab+bc+ca=3.$
cm $\dfrac{1}{a^2+2}+\dfrac{1}{b^2+2}+\dfrac{1}{c^2+2}\le 1$

Học gõ latex tại đây

 

[thinhrost1]

$\sum \dfrac{a^2}{2ab^2+1} = \sum (1-\dfrac{2ab^2}{1+2ab^2})\geq \sum (1-\dfrac{2\sqrt[3]{ab^2}}{3})=3-\sum \dfrac{2\sqrt[3]{ab^2}}{3}$ kỹ thuật cachuy ngược dấu ( chắc v ) )

BĐT sẽ đúng nếu ta CM được $\sum \sqrt[3]{ab^2}\leq 3$

Điều này hiển nhiên đúng vì theo BDT cauchuy với 2 số nguyên dương liên tiếp ta có:

$\sum \sqrt[3]{ab^2}\leq \sum \dfrac{ab+b}{2}=\dfrac{\sum a+\sum ab}{2}\leq \dfrac{3+\dfrac{(a+b+c)^2}{3}}{2}=3$(đúng)

(nhớ CM bổ đề $ab+bc+ac \leq \dfrac{(a+b+c)^2}{3}$ Áp dụng cosi là được)

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$

 

[congchuaanhsang]

2, Trong 3 số a,b,c bao giờ cũng tồn tại 2 số cùng không bé hơn hoặc cùng không lớn hơn 1.

Giả sử 2 số đó là a và b thì $(a-1)(b-1)$\geq0

Xét hiệu $a^2+b^2+c^2+2abc-2ab-2bc-2ca+1=(a^2-2ab+b^2)+2c(ab-a-b+1)+(c^2-2c+1)$

=$(a-b)^2+2c(a-1)(b-1)+(c-1)^2$\geq0

\Rightarrow đpcm

 

[congchuaanhsang]

3, Xét $(\dfrac{a}{b-c}+\dfrac{b}{c-a}+\dfrac{c}{a-b})^2$\geq0

\Leftrightarrow$\dfrac{a^2}{(b-c)^2}+\dfrac{b^2}{(c-a)^2}+\dfrac{c^2}{(a-b)^2}-2$\geq0

\Leftrightarrow$\dfrac{a^2}{(b-c)^2}+\dfrac{b^2}{(c-a)^2}+\dfrac{c^2}{(a-b)^2}$\geq2