bất đẳng thức

[sieuquayno1]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1/cho a+b+c\geq3.cm:$a^4+b^4+c^4$\geq $a^3+b^3+c^3$
2/cho ab khác 0.cm:$\dfrac{a^2}{b^2}$+$b^2+a^2-3(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a})+4$\geq0
Chú ý latex

 

[hocgioi2013]

$a^4 - a^3 + b^4 - b^3 + c^4 - c^3$ \geq 0
<=> $a^3(a - 1) + b^3(b - 1) + c^3(c - 1) - (a - 1) - (b - 1) - (c - 1)$ \geq0 (a + b + c = 3)
<=> $(a - 1)(a^3 - 1) + (b - 1)(b^3 - 1) + (c - 1)(c^3 - 1)$ \geq 0
<=> $(a - 1)^2(a^2 + a + 1) + (b - 1)^2(b^2 + b + 1) + (c -1)^2(c^2 + c + 1)$ \geq0 (*)
Dễ chứng minh được $a^2 + a + 1$ > 0
=> (*) đúng
=> ĐPCM
Chú ý latex

 

[congchuaanhsang]

Mình nghĩ đề bài 2 phải là:

$\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{a^2}-3(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a})+4$\geq0

Đặt $t=\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}$

VT=$t^2-3t+2=(t-1)(t-2)$

*Nếu x,y cùng dấu thì t\geq2 (Áp dụng Cauchy vì khi đó $\dfrac{a}{b}$ và $\dfrac{b}{a}$ đều dương)

Nên $(t-1)(t-2)$\geq0 \Leftrightarrow đpcm

*Nếu x,y trái dấu ta có:

t=$\dfrac{a^2+b^2}{ab}$ \leq $\dfrac{2|ab|}{ab} = \dfrac{-2ab}{ab} = -2$ (do ab âm)

Nên $(t-1)(t-2)$>0

\Leftrightarrowđpcm