Bất đằng thức

[lolem1111]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chứng minh với a,b,c>0

a) [TEX]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{4}{2a+b+c}+\frac{4}{a+2b+c}+\frac{4}{a+b+2c}[/TEX]

b) [TEX]\frac{1}{2a+b}+\frac{1}{2b+c}+\frac{1}{2c+a}\geq \frac{3}{a+b+c}[/TEX]

c) [TEX]\frac{1}{2a+b+c}+\frac{1}{a+2b+c}+\frac{1}{a+b+2c}\geq \frac{9}{4(a+b+c)}[/TEX]

d) [TEX]\frac{(a+b)^2}{c}+ \frac{(b+c)^2}{a}+\frac{(a+c)^2}{b} \geq 4(a+b+c)[/TEX]

 

[vipboycodon]

b) Theo cauchy - schwarz ta có :
$\dfrac{1}{2a+b}+\dfrac{1}{2b+c}+\dfrac{1}{2c+a} \ge \dfrac{(1+1+1)^2}{2a+b+2b+c+2c+a} = \dfrac{9}{3(a+b+c)}$ => đpcm
Câu c cũng theo cauchy - schwarz.

 

[eye_smile]

a,AD BĐT $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}$ \geq $\dfrac{4}{x+y}$, ta được:
$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}$ \geq $\dfrac{4}{a+b}$
$\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$ \geq $\dfrac{4}{b+c}$
$\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}$ \geq $\dfrac{4}{c+a}$
Cộng theo vế, ta được:
$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$ \geq $2(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}$ (1)
Tương tự, AD BĐT trên với vế phải của (1), ta được:
$\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}$ \geq $2(\dfrac{1}{a+b+2c}+\dfrac{1}{a+2b+c}+\dfrac{1}{2a+b+c})$
Từ đây suy ra đpcm

 

[hoang_duythanh]

bđt d sai với x=y=z=0,1
chắc bạn chép nhầm đề rồi ,xem lại nhé

 

[vipboycodon]

Câu d :
Áp dụng bdt cauchy - schwarz ta có:
$\dfrac{(a+b)^2}{c}+\dfrac{(b+c)^2}{a}+\dfrac{(a+c)^2}{b} \ge \dfrac{(a+b+b+c+a+c)^2}{a+b+c} = \dfrac{4(a+b+c)^2}{a+b+c}$ => đpcm

 

[forum_]

Còn 1 câu

c) Theo cauchy - schwarz ta có :
$\dfrac{1}{2a+b+c}+\dfrac{1}{2b+c+a}+\dfrac{1}{2c+a+b} \ge \dfrac{(1+1+1)^2}{4(a+b+c)} = \dfrac{9}{4(a+b+c)}$

 

[tinhhiep381]

.

Câu a
$\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq\frac{16}{2a+b+c}$
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq\frac{16}{a+2b+c}$
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}\geq\frac{16}{a+b+2c}$
Cộng vế theo vế ta có
$4(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq \16\frac{1}{2a+b+c}+\frac{1}{a+2b+c}+\frac{a}{a+b+2c}$
=> Dpcm