bất đẳng thức

[tiendungst_1999]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho 0 \leq a \leq b \leq 1. Chứng minh: $ab^2$ - $a^2b$ \leq $\dfrac{1}{4}$

Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn xyz=1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

$A=\dfrac{\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+y^2}+\sqrt{1+z^2}}{x^2+y^2+z^2}$

 

[soicon_boy_9x]

Bài 1:

Ta có: $(a+1)(b-1) \leq 0 \leftrightarrow ab+b-a \leq 1$

Lại có $ab^2-a^2b=ab(b-a) \leq \dfrac{(ab+b-a)^2}{4} \leq \dfrac{1}{4}$

Dấu $"="$ xảy ra khi và chỉ khi $a=0,5 \ \ \ \ \ \ \ b=1$

Bài 2:

Ta có:

$2 \sqrt{2}A=\dfrac{2\sqrt{(x^2+1)2}+2\sqrt{(y^2+1)2}+2
\sqrt{(z^2+1)2}}{x^2+y^2+z^2} \leq \dfrac{x^2+y^2+z^2+9}
{x^2+y^2+z^2}=1+\dfrac{9}{x^2+y^2+z^2} \leq 1+\dfrac{9}{3}=4$

$\leftrightarrow A \leq \sqrt{2}$

Dấu $"="$ xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=1$