Bất đẳng thức

[xuanquynh97]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a,b,c >0 ; abc=1
Chứng minh rằng : $\frac{1}{(a+1)(b+1)}+\frac{1}{(b+1)(c+1)}+\frac{1}{(c+1)(a+1)}$ \leq $\frac{3}{4}$

 

[congchuaanhsang]

Giả sử a\geqb\geqc>0

\Rightarrow$(a+1)(b+1)$\geq$(b+1)(c+1)$ $(a+1)(b+1)$\geq$(c+1)(a+1)$

Xét VT-VP

=$\dfrac{1}{(a+1)(b+1)}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{(b+1)(c+1)}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{(c+1)(a+1)}-\dfrac{1}{4}$

=$\dfrac{3-a-b-ab}{(a+1)(b+1)}+\dfrac{3-b-c-bc}{(b+1)(c+1)}+\dfrac{3-c-a-ca}{(c+1)(a+1)}$

\geq$\dfrac{3-a-b-ab+3-b-c-bc+3-a-c-ca}{(a+1)(b+1)}$

\LeftrightarrowVT-VP\geq$\dfrac{9-2(a+b+c)-(ab+bc+ca)}{(a+1)(b+1)}$

Áp dụng Cauchy $a+b+c$\geq$3\sqrt[3]{abc}$=3\Rightarrow$2(a+b+c)$\geq6

$ab+bc+ca$\geq$3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}$=3

\Rightarrow$9-2(a+b+c)-(ab+bc+ca)$\leq0\RightarrowVT-VP\leq0\LeftrightarrowVT\leqVP

 

[xuanquynh97]

Giả sử a\geqb\geqc>0

\Rightarrow$(a+1)(b+1)$\geq$(b+1)(c+1)$ $(a+1)(b+1)$\geq$(c+1)(a+1)$

Xét VT-VP

=$\dfrac{1}{(a+1)(b+1)}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{(b+1)(c+1)}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{(c+1)(a+1)}-\dfrac{1}{4}$

=$\dfrac{3-a-b-ab}{(a+1)(b+1)}+\dfrac{3-b-c-bc}{(b+1)(c+1)}+\dfrac{3-c-a-ca}{(c+1)(a+1)}$(*)

\geq$\dfrac{3-a-b-ab+3-b-c-bc+3-a-c-ca}{(a+1)(b+1)}$(*)(*)

\LeftrightarrowVT-VP\geq$\dfrac{9-2(a+b+c)-(ab+bc+ca)}{(a+1)(b+1)}$

Áp dụng Cauchy $a+b+c$\geq$3\sqrt[3]{abc}$=3\Rightarrow$2(a+b+c)$\geq6

$ab+bc+ca$\geq$3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}$=3

\Rightarrow$9-2(a+b+c)-(ab+bc+ca)$\leq0\RightarrowVT-VP\leq0\LeftrightarrowVT\leqVP

Bạn coi lại chỗ (*) đến (*)(*) xem chưa chặt chẽ lắm

 

[thienluan14211]

Cho a,b,c >0 ; abc=1
Chứng minh rằng : $\frac{1}{(a+1)(b+1)}+\frac{1}{(b+1)(c+1)}+\frac{1}{(c+1)(a+1)}$ \leq $\frac{3}{4}$

$\frac{1}{(a+1)(b+1)}+\frac{1}{(b+1)(c+1)}+\frac{1}{(c+1)(a+1)} $\leq $\frac{3}{4}$( * )
Ta có $\frac{1}{(a+1)(b+1)}+\frac{(a+1)}{8}+\frac{(b+1)}{8} $ \geq $\dfrac{3}{4}$ (Cauchy)
$\frac{1}{(b+1)(c+1)}+\frac{(b+1)}{8}+\frac{(c+1)}{8} $\geq$ \dfrac{3}{4}$ (Cauchy)
$\frac{1}{(c+1)(a+1)}+\frac{(c+1)}{8}+\frac{(a+1)}{8} $\geq$ \dfrac{3}{4}$ (Cauchy)
Cộng ba bất đẳng thức vế theo vế
\Rightarrow VT $( * ) +2(\frac{(a+1)}{8}+\frac{(b+1)}{8}\frac{(c+1)}{8})\geq$\dfrac{9}{4}$
\Rightarrow VT $( * )$ \geq $ \frac{9}{4}-\frac{(a+b+c+3)}{4}=\frac{(6-a-b-c)}{4}$
\geq $ \frac{(6-3\sqrt[3]{abc})}{4} $ (Cauchy ngược dấu)
$=\frac{3}{4} $ Do abc=1


@braga: nhận ra ngược dấu chưa

 

[xuanquynh97]

bài này đề sai nha các bạn lấy 1 ví dụ thử là biết tại tự nghĩ nên đề sai sót thông cảm ^^

 

[congchuaanhsang]

Mình nghĩ sửa lại đề thế này là được

$\dfrac{a}{(1+a)(1+b)}+\dfrac{b}{(1+b)(1+c)} + \dfrac{c}{(1+c)(1+a)}$ \geq $\dfrac{3}{4}$

Quy đồng ta có VT=$\dfrac{a+b+c+ab+bc+ca}{a+b+c+ab+bc+ca+2}$

Đặt $a+b+c+ab+bc+ca=x$

Theo Cauchy $a+b+c+ab+bc+ca$\geq$6\sqrt[6]{a^3b^3c^3}$=6

Ta cần cm $\dfrac{x}{x+2}$\geq$\dfrac{3}{4}$

\Leftrightarrow$4x$\geq$3x+6$\Leftrightarrowx\geq6 (đúng)

Vậy bđt được cm

 

[vuive_yeudoi]

Nếu sửa lại thành vầy thì đây là một bất đẳng thức đúng

Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa $abc=1$ . Chứng minh :
$$ \frac{1}{\left(a+k \right) \cdot \left(b+k \right)}+\frac{1}{\left(b+k \right) \cdot \left(c+k \right)}+\frac{1}{\left(c+k \right) \cdot \left(a+k \right)} \le \frac{3}{\left( k+1 \right)^2} $$
Trong đó $$ k=\frac{1+\sqrt{3}}{2} $$