bất đẳng thức

[tiendung_1999]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1.Cho x,y,z \geq 0 và x+y+z=1. CM: x+2y+z \geq 4(1-x)(1-y)(1-z)
2.Cho x,y \geq 0 thỏa mãn $2\sqrt{x} - \sqrt{y}$ = 1. CM: x+y \geq $\dfrac{1}{5}$

 

[keep_going123]

a)Đặt a=x+y ; b=y+z ; c=x+z
=>a+b+c=2
bdt <=> [TEX]a+b\geq4abc[/TEX] (1)
Có:
[TEX](a+b+c)^2\geq4c(a+b)[/TEX]
[TEX]\Rightarrow1\geq c(a+b)[/TEX]
[TEX]\Rightarrow a+b\geq c(a+b)^2[/TEX]
[TEX]\Rightarrow a+b\geq4abc[/TEX]
=> (1) đúng
câu b) tính y theo x , thay vao bdt cần cm => đúng

 

[congchuaanhsang]

1, Ta có: $4(1-x)(1-y)(1-z)$=$4(y+z)(1-y)(1-z)$\leq$[(y+z)+(1-z)]^2(1-y)$
\Leftrightarrow$4(1-x)(1-y)(1-z)$\leq$(y+1)^2(1-y)$=$(y+1)(1-y^2)$\leq$y+1$=$x+2y+z$

 

[congchuaanhsang]

2, Áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz ta được
$(2\sqrt{x}-\sqrt{y})^2$=$(2.\sqrt{x}+(-1).\sqrt{y})^2$\leq$(1^2+2^2)(x+y)$
\Leftrightarrow$(2\sqrt{x}-\sqrt{y})^2$\leq$5(x+y)$\Leftrightarrow1\leq$5(x+y)$
\Leftrightarrowx+y\geq$\dfrac{1}{5}$