bất đẳng thức..

[il0veyou123]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

giải giúp các anh chị ơi....

a,Cho a,b thoả a+b=1.
cm:
[TEX]a^3+b^3+ab \geq \frac{1}{2}[/TEX]

b,Cho x,y,z>0.
cm:
[TEX]\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}+\frac{xy}{z} \geq x+y+z[/TEX]

c,Cho a,b,c>0; a+b+c=1.
cm:
[TEX]\frac{a+b}{abc} \geq 16[/TEX]...:khi (11):
xin thank các anh trước.

 

[vipboycodon]

mấy bài này áp dụng bdt cosi đấy giải đi ............

 

[il0veyou123]

các anh chị giải giúp giùm đi em cần gấp .sao không aj giải vậy

 

[minhminh2061999]

a,Cho a,b thoả a+b=1.
cm:
[TEX]a^3+b^3+ab \geq \frac{1}{2}[/TEX]

a+b=1[TEX]\Rightarrow[/TEX]a=1-b

Thay a=1-b vào [TEX]a^3+b^3+ab[/TEX] co

[TEX](1-b)^3+b^3+(1-b)b=2(b^2-b+\frac{1}{2})[/TEX]
[TEX]=2(b^2-2.\frac{1}{2}b+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}[/TEX]
[TEX]=2(b-\frac{1}{2})^2+\frac{1}{2}\geq\frac{1}{2}[/TEX][TEX]\Rightarrow[/TEX](dpcm)

 

[tranvanhung7997]

b, Áp dụng BĐT Cô Si: $\dfrac{yz}{x} + \dfrac{zx}{y} \ge 2\sqrt[]{\dfrac{xyz^2}{xy}} = 2\sqrt[]{z^2} = 2z$
Tương tự => $\dfrac{zx}{y} + \dfrac{xy}{z} \ge 2y$ ; $\dfrac{xy}{z} + \dfrac{yz}{x} \ge 2x$
Cộng theo vế 3 BĐT ta đươc: $2.(\dfrac{xy}{z} + \dfrac{yz}{x} + \dfrac{zx}{y}) \ge 2.(x + y + z)$
=> $\dfrac{xy}{z} + \dfrac{yz}{x} + \dfrac{zx}{y} \ge x + y + z$
Dấu = có <=> x = y = z

 

[tranvanhung7997]

c, Ta có: $ab \le \dfrac{(a + b)^2}{4} = \dfrac{(1 - c)^2}{4}$
=> $\dfrac{a + b + c}{abc} \ge \dfrac{1 - c}{\dfrac{(1 - c)^2}{4}.c}$
Ta sẽ chứng minh: $\dfrac{1 - c}{\dfrac{(1 - c)^2}{4}.c} \ge 16$
<=> $1 - c \ge 16.\dfrac{(1 - c)^2}{4}.c = 4.(1 - c)^2.c$
<=> $(1 - c)[1 - 4.(1 - c).c] \ge 0$
<=> $(1 - c)(4c^2 - 4c + 1) \ge 0$
<=> $(1 - c)(2x - 1)^2 \ge 0$
Ta thấy do $a + b + c = 1$ mà a, b, c > 0 => c < 1 => 1 - c > 0
Và $(2x - 1)^2 \ge 0$ \forall c
Do đó $(1 - c)(2x - 1)^2 \ge 0$ => BĐT đã cho được chứng minh
Dấu = có <=> $c = \dfrac{1}{2}$ và $a = b = \dfrac{1}{4}$

 

[vipboycodon]

câu 1:
[TEX]a^3+b^3+ab \geq \frac{1}{2}[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX](a+b)(a^2-ab+b^2)+ab-\frac{1}{2} \geq 0[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]a^2-ab+b^2+ab-\frac{1}{2} \geq 0[/TEX] (vì a+b=1)
\Leftrightarrow [TEX]a^2+b^2-\frac{1}{2} \geq 0[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]2(a^2+b^2)-1 \geq 0[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]2a^2+2b^2-1 \geq 0[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]2a^2+2(1-a)^2-1 \geq 0[/TEX] (b=1-a)
\Leftrightarrow [TEX]2a^2+2(1-2a+a^2)-1 \geq 0[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]2a^2+2-4a+2a^2-1 \geq 0[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]4a^2-4a+1 \geq 0[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX](2a-1)^2 \geq 0[/TEX] (đúng)
vậy [TEX]a^3+b^3+ab \geq \frac{1}{2}[/TEX]
dấu "=" xảy ra khi 2a=1 \Leftrightarrow [TEX]a=\frac{1}{2}=b[/TEX]

 

[tranvanhung7997]

câu 1:
[TEX]a^3+b^3+ab \geq \frac{1}{2}[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX](a+b)(a^2-ab+b^2)+ab-\frac{1}{2} \geq 0[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]a^2-ab+b^2+ab-\frac{1}{2} \geq 0[/TEX] (vì a+b=1)
\Leftrightarrow [TEX]a^2+b^2 \ge \frac{1}{2} [/TEX]

Đến đây làm thế này nhanh hơn:
Ta có BĐT $x^2 + y^2 \ge \dfrac{(x + y)^2}{2}$.Dấu = có <=> x = y
Áp dụng BĐT, ta có: $a^2 + b^2 \ge \dfrac{(a + b)^2}{2} = \dfrac{1}{2}$
Dấu = có <=> $a = b = \dfrac{1}{2}$