Bất đẳng thức

[cactusflower_12]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1,Cho a,b,c > 0 ,Cm $\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{c} +\dfrac{c}{a}\geq \dfrac{3}{2}.(\dfrac{a+b}{c}+\dfrac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}$)

2,a,b >0 .TÌM GTNN :A=$\frac{a+b}{(3+a^2).(3+b^2)}$

3,Tìm GTLN $A= x (2002 -x^{2001}$)

4.Tìm GTNN A= $X^2 +3X+Y^2+3Y +\dfrac{9}{X^2+Y^2+1}$

 

[braga]

$\fbox{3}. \ A=2002x-\left(x^{2002}+\begin{matrix} \underbrace{1+1+1+\cdots+1 } \\ \text{2001 số 1} \end{matrix}\right)+2001 \\ \ge 2002x-2002\sqrt[2002]{x^{2002}}+2001=2001$
Dấu bằng xảy ra $\iff x=1$

 

[congchuaanhsang]

Bài 1 phải là $( \dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a} )^2$

Giải:

Ta có:

2$( \dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a} )^2$=2$( \dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2} )$+4$( \dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{b} )$

Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương ta được

$2\dfrac{a^2}{b^2}$+$\dfrac{b}{a}$ \geq3.$\sqrt[3]{ \dfrac{a^4}{b^4}.\dfrac{b}{a} }$ = $3\dfrac{a}{b}$

$2\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c}{b}$ \geq$3\dfrac{b}{c}$ ;

$2\dfrac{c^2}{a^2}+\dfrac{a}{c}$ \geq$3\dfrac{c}{a}$

Cộng từng vế 3 bđt trên ta được

$2(\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2})$+$(\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{b})$ \geq 3$(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a})$

Chia cả 2 vế cho 2 ta được đpcm