bất đẳng thức

[tiendung_1999]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1.Cho a,b,c \geq 0, cm:
$ 9/(a+b+c) \leq 4/(2a+b+c) +4/(a+2b+c) + 4/(a+b+2c) \leq 1/a + 1/b + 1/c$
2.cho 4 số dương a,b,c,d, cm:
$a/(b+c) + b/(c+d) + c/(a+d) + d/(a+b) \geq 2$
3.Cho a,b,c \geq 0, cm:
$ 1/(2a+b+c) + 1/(a+2b+c) + 1/(a+b+2c) \geq 9/(4a+4b+4c)$
4.Cho a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác, cm:
$a/(b+c-a) + b/(a+c-b) + c/(a+b-c) \geq 3$

 

[kakashi_hatake]

4,
$\sum \dfrac{a}{b+c-a} = \sum \dfrac{a^2}{ab+ac-a^2} \ge \dfrac{(a+b+c)^2}{2ab+2ac+2bc-a^2-b^2-c^2} \\ 3(ab+bc+ac) \le (a+b+c)^2 \le 3(a^2+b^2+c^2) \\ \rightarrow 2ab+2ac+2bc-a^2-b^2-c^2 \le \dfrac{2}{3} (a+b+c)^2-\dfrac{1}{3} (a+b+C)^2 =\dfrac{1}{3} (a+b+c)^2 \\ \rightarrow \dfrac{(a+b+c)^2}{2ab+2ac+2bc-a^2-b^2-c^2} \ge \dfrac{(a+b+c)^2}{\dfrac{1}{3}(a+b+c)^2} =3 $

Dấu đẳng thức xảy ra khi tam giác đều

3,

$(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c})(a+b+c)=3+\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{a}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}+\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b} \ge 3+2+2+2=9 \rightarrow \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c} \ge \dfrac{9}{a+b+c}$
Áp dụng vào là ra