Bất đẳng thức

[nhoc_vip_qk98]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho a,b,c >0 và ab + bc + ac = abc. CMR
\frac{\sqrt[2]{b^2 + 2a^2}}{ab} + \frac{\sqb[2]{c^2 + 2b^2}}{bc} + \frac{\sqrt[2]{a^2 + 2 c^2}}{ac} \geq \sqrt[2]{3}

 

[pandahieu]

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có $\frac{ \sqrt{(1+2)(b^2+2a^2)}}{\sqrt 3ab} \ge \frac{ b+2a}{\sqrt 3 ab}$.
Chứng minh tương tự rồi cộng lại thì $\sum \frac{ \sqrt{b+2a^2}}{ab} \ge \sum \frac{b+2a}{ \sqrt 3ab} = \frac{3}{ \sqrt 3} \cdot \sum \frac 1a = \sqrt 3$.
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c= 3$.

 

[braga]

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có $\frac{ \sqrt{(1+2)(b^2+2a^2)}}{\sqrt 3ab} \ge \frac{ b+2a}{\sqrt 3 ab}$.
Chứng minh tương tự rồi cộng lại thì $\sum \frac{ \sqrt{b+2a^2}}{ab} \ge \sum \frac{b+2a}{ \sqrt 3ab} = \frac{3}{ \sqrt 3} \cdot \sum \frac 1a = \sqrt 3$.
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c= 3$.

Đặt $x = \frac{1}{a},y = \frac{1}{b},z = \frac{1}{c} \Rightarrow x + y + z = 1$
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương
$\sqrt {{x^2} + 2{y^2}} + \sqrt {{y^2} + 2{z^2}} + \sqrt {{z^2} + 2{x^2}} \ge \sqrt 3 $
Ta có $\sqrt {{x^2} + 2{y^2}} + \sqrt {{y^2} + 2{z^2}} + \sqrt {{z^2} + 2{x^2}} \ge \sqrt {{{\left( {x + y + z} \right)}^2} + 2{{\left( {x + y + z} \right)}^2}} = \sqrt 3 $
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=3$