Bất đẳng thực

[greentiger]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1: Cho a,b,c\geq 0 và ab+ac+bc+abc=4. CMR:a+b+c\geqab+ac+bc.

Bài 2: Cho a,b,c\geq 1 và a+b+c+2=abc. CMR:

$\frac{1}{1-ab}$+$\frac{1}{1-bc}$+$\frac{1}{1-ca}$\leq $\frac{27}{8}$

Mong mọi người giúp đỡ!

 

[braga]

$\fbox{1}.$ Đặt $\sum a =p,\sum ab=q$ và $abc=r$, điều kiện bài toán là $q+r=4$, Ta cần chứng minh:
$$p\ge q\iff p^3\ge pq(4-r)\iff p^3-4pq+pqr\ge0.$$
Vì ta luôn có $p^3-4pq+9r\ge0$ nên cần cm được $pq\ge 9$. Kết quả này được suy ra từ điều kiện
$$4=q+r\le q+ {1\over\sqrt {27}}q^{\fra}\to q\ge 3 \\ and \ \ \ \ \ p^2\ge 3q\to p\ge 3.$$

$\fbox{2}.$ Quy đồng rút gọn ta được:
$$\text{BDT}\iff 3+19abc\ge 11(ab+bc+ca)+27a^2b^2c^2$$
Theo $AM-GM$ ta có:
$$1=a+b+c\ge 3\sqrt[3]{abc}\implies \dfrac{1}{27}\ge abc \implies abc\ge 27a^2b^2c^2$$
Áp dụng bất đảng thức với số dương quen thuộc:
$$(x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)\le xyz$$
Thay điều kiện $x+y+z=1$ ta có:
$$9xyz\ge 4(xy+yz+zx)-1$$
Vậy ta sẽ chứng minh bất đẳng thức mạnh hơn là:
$$3+2[4(ab+bc+ca)-1]\ge 11(ab+bc+ca) \\ \iff 1\ge 3(ab+bc+ca) \\ \iff (a+b+c)^2\ge 3(ab+bc+ca)$$
Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng nên bđt được chứng minh.

 

[thu8cnd]

Đặt ∑a=p,∑ab=q và abc=r, điều kiện bài toán là q+r=4, cần cm
p≥q<=> p3≥pq(4−r)<=>p3−4pq+pqr≥0.

Vì ta luôn có p3−4pq+9r≥0 nên cần cm được pq≥9. Kết quả này được suy ra từ điều kiện
4=q+r≤q+127−−√q32→q≥3

và
p2≥3q→p≥3.