Bất đẳng thức

[o0oalittlelove]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Mọi người giúp mình bài này với :

1. Cho a,b là 2 số dương , chứng minh
a) ( a + b )( a^3 + b^3 ) < hoặc = 2 ( a^4 + b^4 )

b) ( a + b )( a^4 + b^4) > hoặc = ( a^2 + b^2 ) ( a^3 + b^3 ).

2. Chứng minh bất đẳng thức :

a) a^2 + b^2 + c^2 + 3/4 > hoặc = -a-b-c.

b) a^2 + b^2 + 4 > hoặc = ab + 2( a + b ).

 

[sonhayen]

Câu 1:
a) Ta có: [TEX](a+b)(a^3+b^3)\leq2(a^4+b^4)[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]a^4+b^4+ab^3+a^3b\leq2(a^4+b^4)[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]a^4+b^4+ab^3+a^3b-2(a^4+b^4)\leq0[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]ab^3-a^4+a^3b-b^4\leq0[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]a(b^3-a^3)+b(a^3-b^3)\leq0[/TEX]
\Leftrightarrow-[TEX](a-b)(a^3-b^3)[/TEX]
\Leftrightarrow-[TEX](a-b)(a-b)(a^2+ab+b^2)[/TEX]
\Leftrightarrow-[TEX](a-b)^2(a^2+ab+b^2)[/TEX](1)
Ta thấy: Vì a,b là các số dương nên [TEX](a^2+ab+b^2)[/TEX] > 0 mà -[TEX](a-b)^2[/TEX]\leq0\Rightarrow bất đẳng thức (1) đúng \Rightarrow[TEX](a+b)(a^3+b^3)\leq2(a^4+b^4)[/TEX]\Rightarrow đpcm.
Dấu = xảy ra khi -[TEX](a-b)^2 = 0[/TEX]\Leftrightarrow -(a-b)=0\Leftrightarrow a=b
Bài này đảm bảo đúng 100%. Nhớ thanks mình nha!!!

 

[sonhayen]

Bài 1:
b)Ta có:[TEX] ( a + b )( a^4 + b^4) \geq( a^2 + b^2 ) ( a^3 + b^3 )[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX] a^5+a^4b+ab^4+b^5\geq a^5+a^2b^3+a^3b^2+b^5[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX] a^5+a^4b+ab^4+b^5-a^5-a^2b^3-a^3b^2-b^5\geq 0[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX] a^4b+ab^4-a^2b^3-a^3b^2\geq 0[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX] ab(a^3+b^3-ab^2-a^2b)\geq 0[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX] a^3+b^3-ab^2-a^2b\geq 0[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX] (a+b)(a^2-ab+b^2)-ab(a+b)\geq 0[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX] (a+b)(a^2-ab+b^2-ab)\geq 0[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX] (a+b)(a^2-2ab+b^2)\geq 0[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX] (a+b)(a-b)^2\geq 0[/TEX](2)
Ta thấy: Vì a, b là hai số dương nên a + b > 0 mà [TEX](a-b)^2 \geq 0[/TEX]\Rightarrow bất đẳng thức (2) đúng \Rightarrow[TEX] ( a + b )( a^4 + b^4) \geq( a^2 + b^2 ) ( a^3 + b^3 )[/TEX] \Rightarrow đpcm.
Dấu = xảy ra khi [TEX](a-b)^2 = 0[/TEX]\Leftrightarrow a- b = 0 \Leftrightarrow a=b.
Bài này đảm bảo đúng 100%. Nhớ thanks mình nha!!!

 

[sonhayen]

Bài 2:
a) Ta có: [TEX]a^2 + b^2 + c^2 + \frac{3}{4} \geq -a-b-c[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]a^2 + b^2 + c^2 + \frac{3}{4} +a+b+c\geq 0[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX](a^2+a+\frac{1}{4})+ (b^2+b+\frac{1}{4}) + (c^2+c+\frac{1}{4} \geq 0[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX](a^2+2a.\frac{1}{2}+(\frac{1}{2})^2) +(b^2 +2b.\frac{1}{2}+(\frac{1}{2})^2)+(c^2+2c\frac{1}{2}+(\frac{1}{2})^2)\geq 0[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX](a+\frac{1}{2})^2+(b+\frac{1}{2})^2+(c+\frac{1}{2})^2\geq 0[/TEX]
\Rightarrow bất đẳng thức đúng.
Dấu = xảy ra khi [TEX]\left{\begin{(a+\frac{1}{2})^2=0}\\{(b+\frac{1}{2})^2=0}\\{(c+\frac{1}{2})^2=0} [/TEX]\Leftrightarrow[TEX]\left{\begin{a+\frac{1}{2}=0}\\{b+\frac{1}{2}=0}\\{c+\frac{1}{2}=0} [/TEX]\Leftrightarrow [TEX]a=b=c=-\frac{1}{2}[/TEX]
Bài này tớ cũng đảm bảo đúng 100%. Nhớ thanks nha!!!

 

[sonhayen]

Bài 2:
b)Ta có:[TEX]a^2 + b^2 + 4 \geq ab + 2( a + b )[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]a^2 + b^2 + 4 - ab - 2( a + b ) \geq 0[/TEX](3)
Nhân cả hai vế của (3) với 2, ta có:
(3)\Leftrightarrow[TEX]2a^2 + 2b^2 + 8 - 2ab - 4( a + b ) \geq 0[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]2a^2 + 2b^2 + 8 - 2ab - 4a - 4b \geq 0[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX](a^2 -2ab + b^2) + (a^2 - 4a + 4)+(b^2 - 4b+4) \geq 0[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX](a-b)^2 + (a - 2)^2+(b-2)^2 \geq 0[/TEX]
\Rightarrow bất đẳng thức đúng.
Dấu = xảy ra khi [TEX]\left{\begin{(a-b)^2=0}\\{(a-2)^2=0}\\{(b-2)^2=0} [/TEX]\Leftrightarrow[TEX]\left{\begin{a-b=0}\\{a-2=0}\\{b-2=0} [/TEX]\Leftrightarrowa=b=2
Bài này đúng 100%. Nhớ thanks tớ nha!!!