Bất đẳng thức

[tranduytrinh2000]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1.Chứng minh [TEX]x^2 + y^2[/TEX] + [TEX](\frac{xy-1}{x-y})^2[/TEX] \geq 2
2.Cho b>0. Chứng minh [TEX]\frac{b}{b^2 +1} + \frac{3(b^2 + 1)}{2b}[/TEX] \geq 3,5

 

[soicon_boy_9x]

Bài 1:

$x^2+y^2+\dfrac{(xy-1)^2}{(x-y)^2}=(x-y)^2+\dfrac{(1-xy)^2}
{(x-y)^2}+2xy \geq 2(1-xy)+xy=2$

$\rightarrow x^2+y^2+\dfrac{(xy-1)^2}{(x-y)^2} \geq 2$

Dấu $"="$ xảy ra khi $(x-y)^2=\dfrac{(1-xy)^2}{(x-y)^2} \leftrightarrow

...$

Bài 2:

$\dfrac{b}{b^2+1}+\dfrac{3(b^2+1)}{2b}=\dfrac{b}{b^2+1}+
\dfrac{b^2+1}{4b}+\dfrac{5(b^2+1)}{4b}$

Ta có:

$\dfrac{b}{b^2+1}+\dfrac{b^2+1}{4b}\geq 1$

Lại có $b^2+1 \geq 2b \leftrightarrow \dfrac{b^2+1}{2b}\geq 1
\leftrightarrow \dfrac{5(b^2+1)}{4b} \geq 2,5$

$\leftrightarrow \dfrac{b}{b^2+1}+\dfrac{b^2+1}
{4b}+\dfrac{5(b^2+1)}{4b} \geq 3,5 \leftrightarrow dpcm$

Dấu $"="$ xảy ra khi $\dfrac{b}{b^2+1}=\dfrac{b^2+1}{4b}$ và
$b^2+1=2b$

$\leftrightarrow b=1$