Bất đẳng thức

[thong7enghiaha]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chứng minh rằng với $a;b;c>0$ ta có bất đẳng thức:

$\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a} \le \dfrac{(a+b+c)^2}{6abc}$

 

[drmssi]

Giải:
Với x.y>0 ta có: [TEX]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x + y}[/TEX]
[TEX]\rightarrow \frac{1}{a + b} \leq \frac{1}{4}.(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})[/TEX]
[TEX]\rightarrow VT \leq\frac{1}{2}.(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})[/TEX]
Ta cm: [TEX]\frac{1}{2}.(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) \leq\frac{(a+b+c)^2}{6abc} (*)[/TEX]
Thật vậy [TEX]bdt(*) \Leftrightarrow 3ab+3ac+3bc\leq(a+b+c)^2[/TEX]
Dấu "=" xảy ra....