Bất đăng thức

[ma_vuong_97]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho a,b,c>o. CMR
[TEX]\frac{a^3}{b+2c}+\frac{b^3}{c+2a}+\frac{c^3}{a+2b}\geq\frac{1}{9}(a+b+c)[/TEX]

 

[vansang02121998]

$A=\dfrac{a^3}{b+2c}+\dfrac{b^3}{c+2a}+\dfrac{c^3}{a+2b}$

$\Leftrightarrow A=\dfrac{a^4}{ab+2ac}+\dfrac{b^4}{bc+2ab}+\dfrac{c^4}{ac+2bc}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz, ta có

$A \ge \dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2}{3(ab+ac+bc)}$

Mà $\dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2}{3(ab+ac+bc)} \ge \dfrac{1}{9}(a+b+c)^2$. Thật vậy

$a^2+b^2+c^2 \ge ab+ac+bc$

$3(a^2+b^2+c^2) \ge (a+b+c)^2$

$\Rightarrow 3(a^2+b^2+c^2)^2 \ge (ab+ac+bc)(a+b+c)^2$

$\Leftrightarrow \dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2}{3(ab+ac+bc)} \ge \dfrac{1}{9}(a+b+c)^2$

Vậy, $\dfrac{a^3}{b+2c}+\dfrac{b^3}{c+2a}+\dfrac{c^3}{a+2b} \ge \dfrac{1}{9}(a+b+c)^2$