Bất đẳng thức

[congnhatso1]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

ở mục này chúng ta sẽ chỉ bàn về các bất đẳng thức
không bàn về các vấn đề toán học khác

mời tất cả các mod and mem vào tham gia :><><><><

các bài mở đầu:

1, cho x,y,z là các số dương thoả mãn x+y+z =3
Chứng minh rằng:
[TEX] \frac{a^3}{a^2 + b^2} + \frac{b^3}{b^2 +c^2 } + \frac{c^3}{c^2 + a^2} \geq \frac{3}{2} [/TEX]

2,CHo a,b,c là các số thực dương , CM

[TEX] \frac{a^3}{b} + \frac{b^3}{c} + \frac{c^3}{a} \geq a^2 + b^2 + c^2 [/TEX]



Mở đầu thế này đã
sẽ tiếp tục thêm bài và đáp án :-c:-c:-c

 

[madridista2602]

1,
a3/(a2+b2)= a - ab2/(a2+b2) >= a - ab2/2ab = a - b/2
tương tự => A >= (a+b+c) - (a+b+c)/2 =3/2
đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1

 

[mitd]

2,CHo a,b,c là các số thực dương , CM

[TEX] \frac{a^3}{b} + \frac{b^3}{c} + \frac{c^3}{a} \geq a^2 + b^2 + c^2 [/TEX]

Áp dụng BDT Co-si ta có :

[TEX]\frac{a^3}{b} + ab \geq 2a^2[/TEX]

[TEX]\frac{b^3}{c} + bc \geq 2b^2[/TEX]

[TEX]\frac{c^3}{a} + ca \geq 2c^2[/TEX]

[TEX]a^2+b^2+c^2 \geq ab+bc+ca[/TEX]

Cộng vế với vế các BDT trên \Rightarrow dpcm

 

[vansang02121998]

Câu 1 là cauchy ngược dấu.

$\dfrac{a^3}{a^2+b^2}=\dfrac{a(a^2+b^2)-ab^2}{a^2+b^2}=a-\dfrac{ab^2}{a^2+b^2} \ge a-\dfrac{ab^2}{2ab} = a-\dfrac{b}{2}$

Chứng minh tương tự, ta được

$\dfrac{b^3}{b^2+c^2} \ge b-\dfrac{c}{2}$

$\dfrac{c^3}{c^2+a^2} \ge c-\dfrac{a}{2}$

Cộng vế với vế, ta được

$\dfrac{a^3}{a^2+b^2}+\dfrac{b^3}{b^2+c^2}+\dfrac{c^3}{c^2+a^2} \ge a+b+c-\dfrac{a+b+c}{2}$

$\Leftrightarrow \dfrac{a^3}{a^2+b^2}+\dfrac{b^3}{b^2+c^2}+\dfrac{c^3}{c^2+a^2} \ge \dfrac{a+b+c}{2}$

$\Leftrightarrow \dfrac{a^3}{a^2+b^2}+\dfrac{b^3}{b^2+c^2}+\dfrac{c^3}{c^2+a^2} \ge \dfrac{3}{2}$

 

[mitd]

Góp 1 bài

cho $x,y,z$ không âm và $x+y+z=1$. CMR :

[TEX]x+\sqrt{xy}+\sqrt[3]{xyz} \leq \frac{4}{3}[/TEX]

 

[congnhatso1]

đáp án:

bài 1: Sử dụng CÔsi ngược dấu là cách nhanh nhất ( như bài bạn vansang02121998)

bài 2: cách khác:
áp dụng bdt cosi cho 3 số

[tex]\frac{a^3}{b} + \frac{a^3}{b} + b^2 \leq 3.a^2 [/tex]

Tương tự với b và c , ta sẽ được dpcm
cách này nhanh và dễ dàng hơn cách của bạn trên


Bài khác

1, Với a,b,c là các số thực dương. CM

[tex]\sqrt{\frac{a}{b+c}} + \sqrt{\frac{b}{c+a}} + \sqrt{\frac{c}{a+b}} > 2[/tex]

2, Chứng minh rằng:
[TEX] \sqrt{a^2 + b^2} + \sqrt{c^2 + d^2} \leq \sqrt{(a+c)^2 + ( b+d)^2} [/TEX]

Từng này đã
cố gắng lên nha

 

[vansang02121998]

Bài 1:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số không âm, ta có

$\dfrac{a+b}{c}+1 \ge 2\sqrt{\dfrac{a+b}{c}}$

$\Leftrightarrow \dfrac{a+b+c}{2c} \ge \sqrt{\dfrac{a+b}{c}}$

$\Leftrightarrow \dfrac{2c}{a+b+c} \le \sqrt{\dfrac{c}{a+b}}$

Chứng minh tương tự, ta có

$\dfrac{2a}{a+b+c} \le \sqrt{\dfrac{a}{b+c}}$

$\dfrac{2b}{a+b+c} \le \sqrt{\dfrac{b}{a+c}}$

Cộng vế với vế, ta được

$\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{c+a}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+b}} \ge \dfrac{2a+2b+2c}{a+b+c} = 2$

Tuy nhiện không xảy ra dấu "=" vì không thể xảy ra

$\left\{\begin{matrix} \dfrac{a+b}{c}=1\\ \dfrac{b+c}{a}=1\\ \dfrac{c+a}{b}=1 \end{matrix}\right.$

Vậy, $\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{c+a}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+b}} > 2$

 

[congnhatso1]

bài 1 như trên là đúng rồi
còn bài 2

mọi người hãy cố gắng làm đi

thêm bài nữa
3, cho a,b,c >0 thoả mãn abc=1
CM

[tex] \frac{a^3}{(1+b)(1+c)} + \frac{b^3}{(1+c)(1+a)} + \frac{c^3}{(1+a)(1+b)} \led \frac{3}{4} mọi người tích cực tham gia đi phần Bất đẳng thức này rất hay và hữu ích cho các kì thi đó{ kể cả thi đại học vẫn liên quan mà} chúc may mắn[/tex]

 

[congnhatso1]

bài 1 như trên là đúng rồi
còn bài 2

mọi người hãy cố gắng làm đi

thêm bài nữa
3, cho a,b,c >0 thoả mãn abc=1
CM

[tex] \frac{a^3}{(1+b)(1+c)} + \frac{b^3}{(1+c)(1+a)} + \frac{c^3}{(1+a)(1+b)} \geq \frac{3}{4} [/tex]


mọi người tích cực tham gia đi
phần Bất đẳng thức này rất hay và hữu ích cho các kì thi đó{ kể cả thi đại học vẫn liên quan mà}

chúc may mắn

 

[mitd]

Áp dụng BDT Cô-si ta có :

[TEX]\frac{a^3}{(1+b)(1+c)}+\frac{1+b}{8}+\frac{1+c}{8} \geq\frac{3a}{4}[/TEX]

[TEX]\frac{b^3}{(1+c)(1+a)}+\frac{1+c}{8}+\frac{1+a}{8} \geq\frac{3b}{4}[/TEX]

[TEX]\frac{c^3}{(1+a)(1+b)}+\frac{1+a}{8}+\frac{1+b}{8} \geq\frac{3c}{4}[/TEX]

Cộng vế với vế các BDT trên ta được :

[TEX]\frac{a^3}{(1+b)(1+c)}+\frac{b^3}{(1+c)(1+a)}+ \frac{c^3}{(1+a)(1+b)} +\frac{3}{4} \geq \frac{1}{2}(a+b+c) \geq \frac{1}{2}3\sqrt[3]{abc} = \frac{3}{2}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \frac{a^3}{(1+b)(1+c)}+\frac{b^3}{(1+c)(1+a)}+ \frac{c^3}{(1+a)(1+b)} \geq \frac{3}{4}[/TEX]

 

[congnhatso1]

con` cái bài 2 không ai làm được ak

để tôi giải luôn nha

bình phương 2 vế lên ta sẽ được
[tex] \sqrt{a^2 + b^2} . \sqrt{c^2 + d^2} \geq ac + bd [/tex]

đến đây ta xét :
nếu ac+bd < 0 thì bdt luôn đúng
nếu ac+bd \geq 0 thì ta bình phương 2 vế lên và chứng minh được thành

(bc - ad)^2 \geq 0

 

[congnhatso1]

các bất đẳng thức quen thuộc nề


1 CMR với mọi số thực dương a,b,c,x,y,z ta luôn có:

[tex] \frac {a^2}{x} + \frac {b^2}{y} + \frac {c^2}{z} \geq \frac {(a+b+c)^2}{x+y+z} [/tex]

(bất đẳng thức Svac)

2, CMR

[tex] a^5 + b^5 \geq a^2 .b^2 .(a+b) [/tex]

 

[congnhatso1]

ai vào làm giùm cái nào

giải đi
nó rất hữu ích cho bạn đó