Bất đẳng thức

[nguyen_van_ba]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Cho a,b,c >0. CMR:

[TEX]\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+ \frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\geq\frac{a+b+c}{3}[/TEX]

 

[vivietnam]

chứng minh bất đẳng thức này,dùng biến đổi tương đương

[TEX]\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}\geq\frac{2a-b}{3}[/TEX]

 

[nguyen_van_ba]

Cho a,b,c>0 và a+b+c=abc. CMR:
[TEX] \frac{bc}{a(1+bc)} +\frac{ca}{b(1+ca)} +\frac{ab}{c(1+ab)} \geq \frac{3\sqrt{3}}{4}[/TEX]

 

[jet_nguyen]

Cho a,b,c>0 và a+b+c=abc. CMR:
$$ \dfrac{bc}{a(1+bc)} +\dfrac{ca}{b(1+ca)} +\dfrac{ab}{c(1+ab)} \ge\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$$Gợi ý:
Đặt: $x=\dfrac{1}{a},y=\dfrac{1}{b},z=\dfrac{1}{c}$
Thì giả thiết trở thành: $xy+yz+xz=1$
Ta sẽ đi chứng minh BDT sau:
$$ \dfrac{x}{1+yz} + \dfrac{y}{1+xz}+ \dfrac{z}{1+xy} \ge\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$$ Ta có:
$$\dfrac{x}{1+yz} + \dfrac{y}{1+xz}+ \dfrac{z}{1+xy}=\dfrac{x^2}{x+xyz} + \dfrac{y^2}{y+xyz}+ \dfrac{z^2}{z+xyz} \ge \dfrac{(x+y+z)^2}{(x+y+z)+3xyz}$$ Tới đây bạn có thể xét hàm số.

 

[nguyen_van_ba]

Cho a,b,c >0 và a+b+c=3 .CMR:

[TEX]\frac{a}{ab+1}+\frac{b}{bc+1}+\frac{c}{ca+1} \geq \frac{3}{2}[/TEX]