bất đẳng thức?

[kino_123]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho các số thực x,y thỏa [TEX]x,y \in [0; \frac{ \pi}{3}][/TEX]. chứng minh rằng:[TEX]cosx+cosy \leq 1+cosxy[/TEX]

 

[duynhan1]

Trước tiên thì ta có: .....$\cos x + \cos y = 2 \cos \left( \frac{x+y}{2} \right) \cos \left( \frac{x-y}{2} \right) \le 2 \cos \left( \frac{x+y}{2} \right) \quad (1)$
Mặt khác theo BĐT AM-GM ta có: ......$xy \le \dfrac{(x+y)^2}{4} \quad (2) $
Do $0<xy,\ \frac{(x+y)^2}{4} < \frac{\pi}{2}$ nên từ (2) ta suy ra: $\cos xy \ge \cos \left( \frac{x+y}{2} \right)^2 \quad (3)$
Từ (1) và (3) thì ta cần chứng minh: $$2 \cos t \le 1 + \cos t^2 ,\ \ t=\left( \frac{x+y}{2} \right) \in [0;\frac{\pi}{3}]$$Tới đây bí rồi ^^