bất đẳng thức?

[kino_123]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho [TEX]2 \leq n \in N[/TEX]và x,y là 2 số thực không âm. chứng minh rằng:
[TEX]\sqrt[n]{x^n+y^n} \geq \sqrt[n+1]{x^{n+1}+y^{n+1}}[/TEX]
khi nào xảy ra đẳng thức?

 

[duynhan1]

Với x=0 hoặc y=0, bất đẳng thức hiển nhiên đúng.
Với $x,\ y \not=0$, đặt $t= \frac{x}{y}>0$ thì BĐT đã cho trở thành: $$\begin{aligned} & (t^n+1)^{n+1} \ge (t^{n+1} + 1)^n \\ \Leftrightarrow & (n+1) \ln ( t^n + 1) \ge n \ln ( t^{n+1}+1) \\ \Leftrightarrow& \frac{\ln(t^n + 1)}{n} \ge \frac{\ln(t^{n+1}+1)}{n+1} \end{aligned} $$ Xét hàm số: $f(x) = \dfrac{\ln(t^x + 1)}{x} \forall x \ge 2$, ta có:
$\displaystyle f'(x) = \dfrac{\frac{t^x . \ln t . x}{t^x+1} - \ln(t^x +1)}{x^2} = \frac{t^x . \ln (t^x) - (t^x+1) \ln (t^x+1)}{x^2 (t^x+1)} = \frac{t^x . \ln(\frac{t^x}{t^x+1}) - \ln(t^x+1)}{x^2 . (t^x+1)} <0$
Do đó hàm số f(x) nghịch biến trên $[2; + \infty)$, hay ta có: $$f(n) > f(n+1) \text{(điều phải chứng minh)}$$